2010-2011西城区高三第一学期期末统考数学理

2011西城高三期末

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科） 2011.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

1. 已知全集U R，集合A {xx 1 0}，B {xx 3 0}，那么集合(CUA) B （A）{x 1 x 3} （C）{xx 1}

（B）{x 1 x 3} （D）{xx 3}

2. 已知点A( 1,1)，点B(2,y)，向量a=(1,2)，若AB//a，则实数y的值为

（A）5 （B）6

（C）7

B 45，则角A等于

（D）8

3.已知

ABC中，a 1,b （A）150

（B）90 （C）60 （D）30

4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是 （A） cos

（B） sin

（C） cos 1

14,12]

（D） sin 1

5. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间[

内，则输入的实数x的取值范围是 （A）( , 2] （B）[ 2, 1] （C）[ 1,2] （D）[2, )

6.设等比数列 an 的前n项和为Sn，若8a2 a5 0，则下列式子中数值不能确定的是 （A）

a5a3

（B）

S5S3

（C）

an 1an

（D）

Sn 1Sn

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AB AD CD 1，

7．如图，四边形ABCD中，

BD BD CD.将四边形ABCD沿

对角线BD折成四面体A BCD，使平面

A BD 平面BCD，则下列结论正确的是

C

D

（A）A C BD

（C）CA 与平面A BD所成的角为30 8．对于函数①f(x) 4x

1

（B） BA C 90

（D）四面体A BCD的体积为

13

1

②f(x) log2x ()x，③f(x) cos(x 2) cosx， 5，

x2

判断如下两个命题的真假：

命题甲：f(x)在区间(1,2)上是增函数；

命题乙：f(x)在区间(0, )上恰有两个零点x1,x2，且x1x2 1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是

（A）① （B）②

（C）①③

（D）①②

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i为虚数单位，则

2(1 i)

2

______.

10.在(2 x)5的展开式中，x2的系数为_____.

x y 1 0,

11. 若实数x,y满足条件 x y 2,则2x y的最大值为_____.

x 1,

12.如图所示，过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A，B两点，

BA 2AP，PT与圆C 相切于T点.已知圆C的半径为2，

CAB 30,则PT _____.

13．双曲线C:x y 1的渐近线方程为_____；

PA 2AQ，则直线l的斜率为_____.

22

若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点，且

14.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q) x1 x2 y1 y2为两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之

间的“折线距离”. 则

坐标原点O

与直线2x y 0上一点的“折线距离”的最小值是____； 圆x y

1上一点与直线2x y 0上一点的“折线距离”的最小值是

____.

2

2

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三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知函数f(x)

2x 2sinx.

2

（Ⅰ）若点P(1,在角 的终边上，求f( )的值； （Ⅱ）若x [

16.（本小题满分13分）

如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90 ,点D是棱B1C1的中点.

（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C； （Ⅱ）求证：AB1//平面A1DC； （Ⅲ）求二面角D A1C A的余弦值.

17.（本小题满分13分）

一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6. （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；

（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；

（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列.

6

,

3

]，求f(x)的值域.

B1

C1

1

B

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18.（本小题满分13分）

已知椭圆

xa

22

yb

22

1（a b 0）的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.

（Ⅰ）若e

2

，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线y kx与椭圆相交于A，B两点，M,N分别为线段AF2,BF2的中点. 若

22

32

坐标原点O在以MN为直径的圆上，且

19.（本小题满分14分）

已知函数f(x)

12

e ，求k的取值范围.

ax (2a 1)x 2lnx(a R).

2

(Ⅰ)若曲线y f(x)在x 1和x 3处的切线互相平行，求a的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)设g(x) x2 2x，若对任意x1 (0,2]，均存在x2 (0,2]，使得f(x1) g(x2)，求a的取值范围.

20.（本小题满分14分）

已知数列{an}，{bn}满足bn an 1 an，其中n 1,2,3, . （Ⅰ）若a1 1,bn n，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn 1bn 1 bn(n 2)，且b1 1,b2 2.

（ⅰ）记cn a6n 1(n 1)，求证：数列{cn}为等差数列； （ⅱ）若数列{

满足的条件.

ann

中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项a1应

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