高中数学选修2-1-空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

一、知识网络：

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积

的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫

做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。

注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们

说a、b平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数 使b＝ a

（1）对于确定的 和a，b＝ a表示空间与a平行或共线，长度为 | a|，当 >0时与a同向，当

<0时与a反向的所有向量。

（3）若直线l∥a，A l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 ta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

AB a在l上取，则①式可化为 OP (1 t)OA tOB.②

当t

1

时，点P是线段AB的中点，则 OP 1(OA OB). ③ 22

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推

论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面 平行或a在 平面内，我们就说

向量a平行于平面 ，记作a∥ 。注意：向量a∥ 与直线a∥ 的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、

y，使p xa yb.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使

MP xMA yMB,④

或对空间任一定点O，有OP OM xMA yMB.⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵ OM. OM.代入⑤，整理得

OP (1 x y)OM xOA yOB. ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序

实数组x, y, z, 使p xa yb zc.

说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

p|p xa yb zc,x、y、z R，这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}

叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；

⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都

不是0。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使

x y z.

6．数量积

（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作 a， b，则角∠AOB叫做 向量a与b的夹角，记作 a，b

a

说明：⑴规定0≤ a，b ≤ ,因而 a，b = b，a ；

⑵如果 a，b =，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；

2

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，

图（1）中∠AOB= OA,OB ， 图（2）中∠AOB= AO,OB ,

从而有 OA,OB = OA, OB = OA,OB .

O

a

（1）

B

a

（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：abcos a,b 叫做向量a、b的数量积，记作a b。

即a b=abcos a,b ，

a e |AB|cos a,e …… 此处隐藏：15428字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……