比较全面的等差等比数列的性质总结

一、等差数列

1.等差数列的定义：an an 1 d（d为常数）（n 2）；

2．等差数列通项公式：

an a1 (n 1)d dn a1 d(n N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an am (n m)d． 从而d

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A （2）等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1

4．等差数列的前n项和公式：

a b

或2A a b 2

an 1(n 2) 2an 1 an an 2

an am

；

n m

Sn

n(a1 an)n(n 1)d1

na1 d n2 (a1 d)n An2 Bn 2222

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n 1时，an 1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n 1

2n 1 a1 a2n 1

2

2n 1 an 1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若an an 1 d或an 1 an d(常数n N ) an 是等差数列． ⑶数列 an 是等差数列 an kn b（其中k,b是常数）。

2

（2） 等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an 1(n 2) 2an 1 an an 2． （4）数列 an 是等差数列 Sn An Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若an an 1 d或an 1 an d(常数n N) an 是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项an a1 (n 1)d

②奇数个数成等差，可设为 ，a 2d,a d,a,a d,a 2d （公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为 ，a 3d,a d,a d,a 3d, （注意；公差为2d）

8..等差数列的性质： （1）当公差d 0时，

等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dn a1 d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Sn na1

n(n 1)dd

d n2 (a1 )n是关于n的二次函数且常数项为0. 222

（2）若公差d 0，则为递增等差数列，若公差d 0，则为递减等差数列，若公差d 0，则为常数列。

（3）当m n p q时,则有am an ap aq，特别地，当m n 2p时，则有am an 2ap.

注：a1 an a2 an 1 a3 an 2 ，

（4）若 an 、 bn 为等差数列，则 an b ， 1an 2bn 都为等差数列

(5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2n Sn,S3n S2n ， 也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(k N*)项取出一项(am,am k,am 2k,am 3k, )仍为等差数列

（7）设数列 an 是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，

S奇 a1 a3 a5 a2n 1 S偶 a2 a4 a6 a2n S奇S偶

nana

n nan 1an 1

n a1 a2n 1

2n a2 a2n

2

nan

nan 1

S偶 S奇 nan 1 nan n an 1 an

2、当项数为奇数2n 1时，则

S奇 (n 1)an+1S奇n 1 S2n 1 S奇 S偶 (2n 1)an+1

S S aS naS偶nn+1n+1 奇偶偶

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

（9）等差数列{an}的前n项和Sm n，前m项和Sn m，则前m+n项和Sm n m n

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

An

f(n)， Bn

an(2n 1)anA2n 1

f(2n 1). nn2n 1

n N*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 即当a1 0，d 0， 由

an 0

可得Sn达到最大值时的n值．

an 1 0

（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

an 0

即 当a1 0，d 0， 由 可得Sn达到最小值时的n值．

a 0 n 1

或求 an 中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

p q

2

二、等比数列

1. 等比数列的定义：2. 通项公式：

an

q q 0 n 2,且n N* ，q称为公比 an 1

an a1qn 1

a1n

q A Bn a1 q 0,A B 0 ， 首项：a1；公比：q q

推广：an amqn m， 从而得qn m

3. 等比中项

an

或q nam

（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A2

ab或A

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列 an 是等比数列 an2 an 1 an 1

4. 等比数列的前n项和Sn公式： (1) 当q 1时， Sn na1

(2) 当q 1时，Sn

a1 1 qn 1 q

a1 anq

1 q

a1a

1qn A A Bn A'Bn A'（A,B,A',B'为常数） 1 q1 q

5. 等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有an 1 qan或

2

an 1

q(q为常数，an 0) {an}为等比数列 an

（2） 等比中项：an an 1an 1（an 1an 1 0） {an}为等比数列 （3） 通项公式：an A B

n

A B 0 {an}为等比数列

n

n

（4） 前n项和公式：Sn A A B或Sn A'B A'A,B,A',B'为常数 {an}为等比数列

6. 等比数列的证明方法 依据定义：若

an

q q 0 n 2,且n N* 或an 1 qan {an}为等比数列 an 1

7. 注意

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an a1q

如奇数个数成等差，可设为 ，

n 1

aa

,,a,aq,aq2 （公比为q，中间项用a表示）； 2

qq

8. 等比数列的性质 (1) 当q 1时

①等比数列通项公式an a1qn 1

a1n

q A Bn A B 0 是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q q

②前n项和Sn

a1 1 qn 1 q

a1 a1qna1a 1qn A A Bn A'Bn A'，系数和常数项是互为相反

1 q1 q1 q

数的类指数函数，底数为公比q

(2) 对任何m,n N*,在等比数列{an}中,有an amqn m,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t N*),则an am as at.特别的,当n+m=2k时,得an am ak2 注：a1 an a2 an 1 a3an 2

ak

(4) 列{an},{bn}为等比数列,则数列{,{k an},{ank},{k an bn}{n (k为非零常数) 均为等比数

bnan

列.

(5) 数列{an}为等比数列,每隔k(k N*)项取出一项(am,am k,am 2k,am 3k, )仍为等比数列 (6) 如果{an …… 此处隐藏：8205字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……