2015届高考数学(新课标版,理)二轮复习专题：第二讲 函数的图象与

第二讲 函数的图象与性质 (选择、填空题型)

1 1.(2014· 山东高考)函数 f(x)= 的定义域为( log2x 2-1 1 A. 0,2 1 C. 0,2 ∪(2,+∞)

)

B.(2,+∞) 1 D. 0,2 ∪[2,+∞)

解析：选 C

(log2x)2-1>0,即 log2x>1 或 log2x<-1,解得 x>2

1 1 或 0<x<2,故所求的定义域是 0,2 ∪(2,+∞).

2.(2014· 福建高考 )已知函数 论正确的是( )

2 x +1,x>0, f(x)= cos x,x≤0,

则下列结

A.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期函数解析：选 D

B.f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)

因为 f(π)=π2+1,f(-π)=-1,所以 f(-π)≠f(π),所以

函数 f(x)不是偶函数,排除 A;因为函数 f(x)在(-2π,-π)上单调递减, 排除 B;函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)不是周期函数, 排除 C;因为 x>0 时,f(x)>1,x≤0 时,-1≤f(x)≤1,所以函数 f(x)的值 域为[-1,+∞),故选 D.

3.(2014· 湖南高考)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和 奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( A.-3 B.-1 C.1 D.3解析： 选C

)

用“-x”代替“x”,得 f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2

+1,化简得 f(x)+g(x)=-x3+x2+1,令 x=1,得 f(1)+g(1)=1,故选 C.

4.(2014· 陕西高考)如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距 着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某 三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )

1 3 3 A.y=125x -5x 3 3 C.y=125x -x

2 3 4 B.y=125x -5x 3 3 1 D.y=-125x +5x

解析：选 A

设所求函数解析式为 y=f(x),由题意知 f(5)=

1 3 3 -2,f(-5)=2,且 f′(± 5)=0,代入验证易得 y=125x -5x 符合题意, 故选 A.

5. (2014· 新课标全国卷Ⅰ)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定 点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )

解析：选 B

由题意知,f(x)=|cos x|· sin x,当

π x∈ 0,2 时,f(x)=

π 1 1 cos x· sin x=2sin 2x; 当 x∈ 2,π 时,f(x)=-cos x· sin x=-2sin 2x,

故选 B.

1.函数的三个性质 (1)单调性 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1,x2, 且 x 1<x 2,都有 f(x1)<f(x2) 成立, 则 f(x)在 D 上是增函数(都有 f(x 1)>f(x 2) 成立,则 f(x) 在 D 上是减函数). (2)奇偶性 对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称),都有 f(-x)=- f(x)成立,则 f(x)为奇函数(都有 f(-x)= f(x)成立,则 f(x)为偶函数). (3)周期性 周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件： ①当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+ T)=f(x); ②T 是不为零

的最小正数.

2.抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数 f (x)满足 f (x+a)=f(x-a),则 f(x)为周期函数,2a 是它的一个周期. ②设 f (x)是 R 上的偶函数,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f (x)是周期函 数,2a 是它的一个周期. ③设 f (x)是 R 上的奇函数,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f (x)是周期函 数,4a 是它的一个周期. (2)函数图象的对称性 ①若函数 y=f (x)满足 f (a+x)=f (a-x),即 f (x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称. ②若函数 y=f (x)满足 f (a+x)=-f (a-x),即 f (x)=-f(2a-x),则 f(x)的图象关于 点(a,0)对称. a+b ③若函数 y=f (x)满足 f (a+x)=f (b-x),则函数 f (x)的图象关于直线 x= 对 2 称.

1 1.函数 f(x)= + 4-x 2 的定义域为( ln x+ 1 A.[ -2,0)∪(0,2] C.[- 2,2] B.( -1,0)∪(0,2] D.(- 1,2]

)

1 - x,a≤x <0, 2.(2014· 长春模拟 )已知函数 f(x) = 2 的值域是 2 -x + 2x, 0≤x ≤ 4

[-8,1], 则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,- 3] C.[- 3,- 1]

) B.[- 3,0) D.{ -3}

3.(2014· 三 明 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = m+n+ m-n f m-n 的值( 2 A.一定是 m C.是 m 、n 中较大的数

1,x >0, -1,x <0.

若 m≠n, 则

) B.一定是 n D.是 m、n 中较小的数

4.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, 当 x∈[ -1,1)时,f(x)=2 -4x + 2,- 1≤x <0, x, 0≤x<1,

则

=________.

[自主解答] 0<x≤2.

1.x

x+1>0, 需满足 x+1≠1, 4-x2≥0,

x>-1, 即 x≠0, -2≤x≤2,

解得-1<x<0 或

2. 当 0≤x≤4 时 ,f (x) ∈ [ - 8,1], 当 a≤x<0 1 1 - ,- 1 [ - 8 , - 1 ], - 8 ≤ - <-1,即-3≤a<0. a 2 2a

1 a 时 ,f (x) ∈ - 2 ,-1 ,所以

1 m>n , 3.由题意可知 f (m-n)= 所以 -1 m<n ,

m+n+ m-n , m>n 2 m+n+ m-n f m-n = 2 m+n- m-n , m<n 2

m, m>n , = 所以 n, m<n ,

m+n+ m-n f m-n 的值是 m、n 中较大的数,故选 C. 2 1 1 3 2 4.由已知易得 f - =-4 × - +2 =1,又由函数的周期为 2, 可得 f = 2 2 2 1 - =1. 2 [答案] 1.B 2.B 3.C 4.1

在题 2 中,当 a 取得最小值时,若方程 f(x)=m 有且只有一个实数根,求 m 的取值范围.解：由题 2 可知 ,a 的最小值为- 3,则 f(x)的图象如图所示 .方 程 f(x)= m 有且只有一个实数根 ,等价于函数 y= f(x)的图象与直线 y= m 有且只有一个公共点 ,由图可知 ,m 的取值范围为{m|m= 1

或 - 1≤m<0}.

函数值和值域的求法 (1)求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解 即可,在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式； (2)求解函数值域的方法有：公式法、图象法、换元法、数形结合

法、有界性法等,要根据问题具体分析,确定求解的方法.