单位脉冲函数δ(t)及其性质

单位脉冲函数８（ｔ）ｊ及。其性．质

唐友刚

吴果林

（桂林航天工业高等专科学校计算机系数学教研室，广西桂林５４１００４）

概要：皋文给出了单位脉冲函数的定义及若干性质。并结合傅里叶变换给出了一些性质的应用。对：ｒ－，ｌｉ技术中单位脉冲函数的应用具有指导意义。

关键词：单位脉冲函数性质工程技术单位脉冲函数８（ｔ）（以下简称８（０）是物理及工程技术中的一个重要的函数．有其相当多的物理背景．其物理意义为ｔ＝Ｏ在时刻有一个强度为ｌ的冲击。工程上一般采用弱极限来定义，但８（ｔ）与普通函数又不一样，不是值与值的对应关系，它是一个广义甬数，而其本质是一泛函，对于具有一般高等数学知识的人员来说是难以理解的。下面，笔者根据８０）严格的数学定义以及结合傅里叶变换给出它的一些性质及应用。

１．单位脉冲函数８（ｔ）的定义

设Ｄ是一∞＜ｔ＜＋∞上无限次可微且在某有限区间以外为Ｏ的函数全体，则８（ｔ）可定义为：对一切ｆＥＤ，对应数值ｆ（Ｏ），称这一泛函为６（ｔ）。根据实际应用，我们又可简单地表示为．ｒ’。８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（０），这一定义为数学上的严格定义，但一般工程技术人员难以理解，所以Ｔ程上８（ｔ）的定义一般采用弱极限来定义，在各类《积分变换》教材中均有

２．单位脉冲函数的性质

．性质ｌ：８（ｔ）＝８（一ｔ），ｌｉＰＳ（ｔ）为偶函数。

证明：设ｆ（ｔ）为任一连续函数，ｊｉｌＪｆ（一ｘ）也为连续函数，

于是由ｆ：８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｏ）

可得ｆ：：８（一ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ”可：：８（ｘ）ｆ（－ｘ）ｄ（一ｘ）＝ｆ：：８（ｘ）ｆ（－ｘ）

ｄｘ＝ｆ（Ｏ）

，则有８（ｔ）＝８（一ｔ）。所以Ｌ。８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ可：所以ｆ：８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ“一ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（０）－６（－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（Ｏ），则有８（ｔ）＝８（一ｔ）。

性质２：ｆ：８（卜ｔｏ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｔｏ），其中ｆ（ｔ）为任一连续函数，ｔｏ

为一有限值（以下同）。

证明：Ｓ：６（ｔ—ｔｏ）ｆ（ｔ）ｄｔ一＝ｆ：８（ｘ）ｆ（ｘ＋ｔｏ）ｄｘ－－ｆ（Ｏ＋ｔｏ）＝ｆ（ｔｏ）。

注：ｌ玉Ｉｆ（ｔ）＝ｌ为连续函数．所以立刻可得到我们熟悉的公

式：亡８（ｔ－１０）ｄ仁ｌ。此式也是８（ｔ）在工程技术上广泛应用的依据。

性质３：８（ｔ－ｔｏ）＝８（ｔｏ－ｔ）

证明：设ｆ（ｘ）为任一连续函数，

则，：：８（ｔ。一ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ叫＝一，：：８（ｘ）ｆ（ｔｏ—ｘ）ｄ】【＝』：：８（ｘ）ｆ（ｔｏ－Ｘ）

ｄｔ＝ｆ（ｔｏ－Ｏ）－－ｆ（ｔｏ）

介绍，此处不再赘述。值得一提的是，由等式』：：８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（Ｏ）及工程实际应用，可给出如下定义：８（ｔ）为满足等式．ｒ：。

８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（０）的函数。其中ｆ（ｔ）为任一连续函数。由上可知，８（ｔ）不再是普通的值与值的对应关系．而是通过和一个连续函数乘积在（一∞，＋∞）上的积分才与一个有限值相对应，这个有限值我们可以称之为６（ｔ）的运算值，因此．证明一个与８（ｔ）有关的等式成立时，是指它们的运算值相等。师：李白啊。李白！鸟儿都飞走了，你为什么还不走啊！不要问。不要说．一切尽在（引读）。

生齐读：相看两不厌，只有敬亭山。

师：当天空中的云彩，越飘越远。李白深情地看着敬亭山，轻轻地对他说

生：敬亭山．谢谢你。是你一直陪伴着我，你真是我最好的

朋友。

又由性质２可知，８（ｔ＾）＝８（ｔ０一ｔ）。

注：在此式中令ｔ。＝０即可得性质１。

性质４：８（ｔ－ｔｏ）ｆ（ｔ）＝８（ｔ—ｔ０）ｆ（ｔ０），其中ｆ（ｔ）为连续函数。

证明：由Ｊ．：：８（ｔ－ｔ０）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｔｏ）及』：：８（ｔ－ｔｏ）ｆ（ｔｏ）ｄｔ＝ｆ（ｔｏ）即

可得此性质。

性质５：８［ａ（ｔ飞）］＝百ｔ，Ｂ（ｔ－ｔｏ），其中ａ≠０。

过：三等的课堂是表面的化妆，二等的课堂是精神的化妆，一等的课堂是生命的化妆。本色的语文就要让学生感受祖国语言文字的魅力．切切实实地展开语言文字的训练，使学生触摸到语言文字背后的东西，提升自我的精神境界，乃至是生命的拔节。

孙建锋老师是这样说的，更是这样做的。在一堂千人听课的公开课上，孙老师让学生结合生活实际，说说对（做一片美的叶子》中的句子“大树把无数的叶子结为一个整体．无数的叶子在树上找到了自己的位置”的理解．有的说，班级就像一棵大树，它把全班４０个学生结为一个整体。还有的说。工厂这棵大树把许许多多的工人结为一个整体．工人在工厂里都能找到自己的位置。学生们争先恐后地发言，惟独一个短头发的男孩目光下垂．不敢看老师。孙老师便微笑着走近他。亲切地说：“孩子，你对这句话一定有自己的见解，我很想听到你的声音！”在孙老师耐心鼓励下。男孩终于胆怯地说：“家把爸爸、妈妈和我结为一个整体．可是……可是爸爸、妈妈离婚了……我跟奶奶过．原来的家再也没有我的位置了。”说着，伤心地哭了。整个课堂很静，所有的目光都聚焦在男孩和孙老师身上。只见孙老师躬身把男孩抱起来，如同抱着自己的孩子，一边用纸巾拭去男孩脸上的泪水．一边给男孩讲起“珍珠贝”的故事。话音剐落台下便响起热烈的掌声。这掌声是台下千名教师送给那位孩子的．激励他做生活的强者，更是送给孙老师的，或许正因为孙老师的这堂课。这深情的一抱，这“珍珠贝”的故事．足以影响这孩子的一生，使其鼓足生活的勇气去战胜一切困难．学生的生命在这灵动的课堂中得到了拔节。

师：敬亭山深情地看着李白，轻轻地对他说……

生：李白．你很孤独，我愿一直呆在你身边，就像你的亲人一样。

师：敬亭山啊，敬亭山！云儿都飞走了，你为什么还陪伴着李白啊！不要问，不要说，一切尽在（引读）。

生齐读：相看两不厌．只有李太白。

师：当夕阳在山那边，快要落下去的时候。李白深情地看着敬亭山，轻轻地对他说……

生：略。

师：敬亭山深情地看着李白。轻轻地对他说……

生：略。

师：李白啊，敬亭山！连太阳都快落山了，你为何还不相互告别，各安其所呢？不要问，不要说，一切尽在（引读）。

生齐读：相看两不厌，只有敬亭山。相看两不厌，只有李太白。五、要有生命的拔节

一堂简约的课堂，目标是简约的．内容是简约的．形式是简约的．但留给学生的体验却不应是肤浅的。孙建锋老师曾说

万方数据　

一．道竞赛题证’法再探究

李善明

（安康学院数学系，陕西安康７２５０００）

摘要：本文对一道内含丰富且具有探究价值的数学竞证法一：如图２，连结ＯＣ，ＢＣ，ＯＭ。

赛题进行了再探究．并给出几种不同的证明方法。

‘．‘ＣＨ上ＢＭ，ＣＯ上ＡＢ。

关键词：竞赛题证法探完． ．０、Ｂ、Ｃ、Ｈ四点共圆。

． ．￡ＢＨＯ＝￡ＢＣ０＝＿４５。．［０ＡＭ－－４５。．日

＜中学数学教学参考）２００８年第７期（上半月 高中）刊登了于是０、Ａ、Ｍ、Ｈ四点共圆，２００８年全国高中数学联赛陕西赛区预赛第二式第五题：

故￡０ＨＡ＝［０ＭＡ＝９００，

图２

如图１．ＡＢ是半圆０的直径。Ｃ是五Ｂ的在ＲｔＡＢＭＣｑｂ．旦： …… 此处隐藏：2197字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……