线性代数 科学出版社 李国王晓峰著 课堂讲义第一章

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线性代数 冯纪强 深圳大学数学与计算科学学院 E-mail: fengjq@http://www.77cn.com.cn 电话：13928489903 短号：6919

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教材： 《线性代数》 李国 王晓峰 主编 科学出版社 参考书目： 《线性代数》 赵树嫄 主编 中国人民大学出版社

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课程简介 线性代数(Linear Algebra)是代数学的一个分支， “代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才 传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”,直 到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才 将它翻译成为“代数学”,一直沿用至今。 线性代数是一门非常重要的基础课之一 ，它的理 论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且在理论 物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技 术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用。

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第1章 矩阵(Matrix) 与初等变换

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§2.1 矩阵的定义1.1.0 矩阵的引入 1、某班级同学早餐情况姓名 周星驰 张曼玉 陈水扁 馒头 4 0 4 包子 2 0 9 鸡蛋 2 0 8 稀饭 1 0 6

为了方便，用下面的数表表示 4 2 2 1 0 0 0 0 4 9 8 6 这个数表反映 了学生的早餐 情况.

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2、某航空公司在A,B,C, D四城市之间的航线图 北京 深圳 上海

西安其中√ 表示有航班. 到站 为了便于计算,把表中 上海 深圳 西安 的√ 改成1,空白地方 1 1 1 0 填上0,就得到一个数表: 0 1 这个数表反映 0 1 了四城市间交 0 0 1 0 1 通联接情况. 1 0 0 1 0

为了方便，常用下面的数表表示北京 北京 上海 发站 深圳 西安

0 1

1 0

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1.1.1 矩阵一个m行n列的数表: a11 a 21 am 1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn

(1.1.1)

称为一个m n级矩阵, aij称为该矩阵(i, j)位置上的元

素. i为aij的行下标, j为aij的列下标.通常用记号 A=[aij]m n 表示是一个m行n列的矩阵.

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一个m×n矩阵A也可简记为

A Am n (aij )m n 或A (aij )注： 1、 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的 矩阵称为复矩阵.2、所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记为O; 所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵。 3、行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵, 记为An

4、如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数， 则称这两个矩阵为同型矩阵。

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例如： 1) 任一数a是一个1级矩阵:2) 如下是一个2 2级矩阵: 3) 如下是一个1 4级矩阵:

A=(a)=a

1 2 A 0 2 A (1, 0, 2, 1 ) 2

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4) 如下是一个4 1级矩阵:

2 0 A 0 3

5) 如下是一个3 2级矩阵:

2 1 1 A 0 2 3 2

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6) 给定一n元线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1 a x

a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm a11 a 21 A 系数矩阵： am 1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn

(1.1.2)

增广矩阵：

a11 a 21 B am 1

a12 a22 am 2

a1n a2 n amn

b1 b2 bm 11

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例如，对于四元线性方程组 x4 2 2 x1 2 x2 x 2 2 x 3 x4 0 x 3 x 3 3 x4 3 1

则其系数矩阵和增广矩阵分别为:1 2 2 0 0 1 2 1 1 0 3 3 2 2 0 1 2 0 1 2 1 0 1 0 3 3 3 12

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由一个线性方程组写出对应的矩阵时必须注意: 同一个变元在方程组中上下要对齐; 一方程中某变元未出现, 则其系数为0, 从而系数 矩阵和增广矩阵中对应位置上的元素为0.

例 给定矩阵

3 2 0 1 0 B 0 3 0 2 1 2 4 3 1 2 13

求以B为增广矩阵的线性方程组.

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1.1.2、一些特殊矩阵

1、零矩阵 m n 个元素全为零的矩阵称为零矩阵. 记作 Om n 或 O . 注意 不同的零矩阵未必相等的.

2、只有一行的矩阵称为行向量,只有一列的矩阵 称为列向量，包含元素的个数称为向量的维数. 常用希腊字母α、β、γ…等来表示。

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设 A=(aij)m n. 则 A 有 m 个行向量和 n 个列向量: i ai 1 , ai 2 , , ain , 1, 2 , m , a1 j a 2j j , amj

j 1, 2,

, n

从而可记：

1 2 A 1 , m

2 ,

,

n 15

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3、对角矩阵 主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角矩阵. 1 0 0 O 0 2 0 不全为0 O 0 0 n 记作 A diag( 1 , 2 , n )