复合函数的单调性

复合函数的单调性

数学组 李红洁

一、教学目标：使学生掌握判断复合函数单调性的方法，会求复合函

数的单调区间

二、教学重、难点：求复合函数的单调区间

三、教学方法：讲授法

四、教学过程

1、复习

增函数、减函数的定义：

设函数y f(x)的定义域为 I：如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,

当x1 x2时，都有f(x1) f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数； 当x1 x2时，都有f(x1) f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数；

2、引入新课

问题1： 求函数y 1的单调区间。 x2 x 3

1的单调x分析：求此类型的函数单调区间没学过，不会求。但是y

区间我们会求。若令u x2 x 3则y 1，此时这个函数就可看成是u

由一个二次函数和一个反比例函数构成的，这两个函数都是我们学过的简单函数。这个复杂函数的单调性是否和这两个简单函数的单调性有关？这就是我们本节课的主要内容：复合函数的单调性。

3、新课讲解

函数y f[g(x)]称为复合函数，它是由y f(u)及u g(x)两个简 单函数复合而成的。y f(u)称为外函数，u g(x)称为内函数。复合

函数的单调性跟两个简单函数的单调性有关。

复合函数的单调性总结如下

可简记为“同增异减”。

4、例题讲解

例1 求函数y 1的单调区间。 2x x 3解：x2 x 3 0 x R

定义域为R

设u x2 x 3，则y 1. u

1111 u x2 x 3 (x )2 ，对称轴为x ，开口向上，此函数242

1 1 在 , 单调递减， , 单调递增。 2 2

而y 当u 0时单调递减。

函数y 11 1 在 单调递增，在， 单调递减。 2 2x2 x 3 1u

（小结：复合函数的单调性跟构成它的两个简单函数的单调性有关，但是求函数的单调区间应先求其定义域。）

例2 求函数y 2x x2的单调区间。

解：3 2x x2 0 x2 2x 3 0 (x 3)(x 1) 0 3 x 1

3,1 定义域为

设u 3 2x x2,则y .

u x2 2x 3的对称轴为x 1，则u在 3, 1 单调递增，在 1,1 单调递增 而y 在u 0时单调递增

1， y 3 2x x2在 3， 1 单调递增，在1 单调递减

（小结：一定要注意函数的定义域）

例3 求函数y log1(3 2x x2)的单调区间

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（请同学口述）

解：3 2x x2 0 1 x 3

1， 定义域为3 设u 3 2x x2则y log1(3 2x x2)

2

u x2 2x 3的对称轴为x 1，则u在 1,1 为增函数，在 1,3 为减函数 而y log1u当u 0时为减函数

2

1， y log1(3 2x x2)在 1，1 为减函数，在3 为增函数

2

5、练习 1 求函数y 2 x2 6x 17的单调区间

分析：u x2 6x 17的对称轴为x 3，在( , 3)为增函数在（为 3， ）

1 1 减函数，而y 在R上为减函数。则y 2 2

（ 3， ）数，在为增函数。 ux2 6x 17在( , 3)为减函

6、小结

本节课的主要内容是复合函数的单调性，讨论复合函数的单调性

就去讨论构成它的简单函数的单调性，所以关键是找到内函数和外函数，还有一个比较主要的问题是先求函数的定义域，因为单调区间都是在定义域内来讨论的。

7、作业

1、求函数y 38 4x x的单调区间。

2、求函数y log5(x2 6x 16)的单调区间。

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