王高雄等《常微分方程》第三版习题解答详细

王高雄等《常微分方程》第三版习题解答详细

常微分方程习题2.1

1.

dy

=2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx

解：对原式进行变量分离得

1

dy=2xdx,两边同时积分得：lny=y

c=1,故它的特解为

y=ex。

2

x

2

+c,即y=cex把x=0,y=1代入得

2

2.ydx+(x+1)dy=0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得：

2

1111dx=2dy,当y≠0时，两边同时积分得；lnx+1=+c,即y=x+1yc+lnx+1y1

1+ln+x

2

当y=0时显然也是原方程的解。当x=0,y=1时，代入式子得c=1,故特解是y=

3

y dy=

dxxy+x3y

1+1+

解：原式可化为：

dy=dx

y

2

y

1x+x

显然3

1+

y

2

y

≠0,故分离变量得

y1+

y

dy=2

1x+x

2

3

dx

1

两边积分得ln+

2

y

2

12

=lnx ln+x+lnc(c≠0),即(1+

2(1+x)=cxy）

2

2

2

y

22

)(1+x)=cx

故原方程的解为（1+

4：(1+x)ydx+(1 y)xdy=0

解：由y=0或x=0是方程的解，当xy≠0时，变量分离两边积分lnx+x+lny y=c,即lnxy+x y=c,故原方程的解为lnxy=x y=c;y=0;x=0.

1+x1 y

dy=0dx=yx

王高雄等《常微分方程》第三版习题解答详细

5:(y+x)dy+(y x)dx=0

dyy xydydu=,令=u,y=ux,=u+x

dxy+xxdxdx

1duu+1u+1

,变量分离，得：du=dx则u+x= 2

dxu+1xu+1两边积分得：arctgu+

12

ln(1+u)= lnx+c。2

2dy2

=y+x ydxydydu

,则原方程化为：解：令=u,y=ux,=u+x

xdxdx

6：x

du=dx

x

2

(1 u)x

2

,1 u

2

du=sgnx

1dxx

arcsinu=sgnx lnx+c两边积分得：

y

代回原来变量，得arcsin=sgnx lnx+c

x

另外，y=x也是方程的解。

2

2

7：tgydx ctgxdy=0

解：变量分离，得：ctgydy=tgxdxlnsiny= lncosx+c.两边积分得：

y

2

dy8:= dxy

+3x

解：变量分离，得

e

y13x

dy= e+c2

3y

9:x(lnx lny)dy ydx=0

yy

dy dx=0xx

y1lnu令u=,dx= dlnu

1+lnuxx

y

代回原变量得：cy=1+ln。

x

dyx y10=edx解：方程可变为： ln解：变量分离edy=edx两边积分e=e+c

y

xy

x

王高雄等《常微分方程》第三版习题解答详细

dyx y

=edx

解：变量分离，edy=edx两边积分得：e=e+c

2dy11.=(x+y)dx

y

xy

x

dydt=+1dxdxdt1

=2+1

dxt解：令x+y=t,则2

1+1

t

dt=dx,两边积分arctgt=x+c

代回变量得：arctg(x+y)=x+c

12．解

dy1= 2dx(x+y)

令x+y=t，则

dydtdt1= 1，原方程可变为=2+1dxdxdxt

t2

变量分离2dt=dx，两边积分t arctgt=x+c，代回变量

t+1

x+y arctg(x+y)=x+c

13.

dy2x y 1=

dxx 2y+1

11

解：方程组2x y 1=0,x 2y+1=0;的解为x= ,y=

33

dY2X Y11

令x=X ,y=Y+,则有='

dXX 2Y33YdU2 2U+2令=U，则方程可化为：X=

XdX1 2U变量分离

2

王高雄等《常微分方程》第三版习题解答详细

14,

dyx y+5dx=

x y 2

解：令x y=5=t,则

dydx=1 dtdx,原方程化为：1 dtdx=t

t 7,变量分离(t 7)dt 7dx

两边积分12

t2

7t= 7x+c

代回变量1

2(x y+5)2 7(x y+5)= 7x+c.

dy

=(x+1)2+(4y+1)215．dx+8xy+1

解：方程化为

dy

=x2+2x+1+16y2+8y+1+8xy+1=(x+4y+1)2dx

+2令1+x+4y=u，则关于x求导得1+4dydu

1du9dx=dx

，所以4dx=u2+4，

分离变量1228

4u2+9

du=dx，两边积分得arctg(3+3x+3y)=6x+c，是

原方程的解。

16．dyy6dx= 2x2

2xy5+x2y

2

解：dy(y3)2 2x2dy33[(y3)2 2x2]3

dx=y2(2xy3+x2=dx=2xy3+x2

，，令y=u，则原方程化为3u2

du3u2 6x2

x 6dx=2xu+x

2

=2 ，这是齐次方程，2ux

+1令

王高雄等《常微分方程》第三版习题解答详细

ududz3z2 6dzdzz2 z 6

，=z，则=z+x=z+x，，x=...........(1)

2z+12z+1xdxdxdxdx

当z2 z 6=0，得z=3或z= 2是（）方程的解。即y3=3x或y3= 2x是方程的解。1

2z+11

当z2 z 6≠0时，变量分离2dz=dx，两边积分的（z 3)7(z+2)3=x5c,

xz z d

即（y3 3x)7(y3+2x)3=x5c，又因为y3=3x或y3= 2x包含在通解中当c=0时。故原方程的解为(y3 3x)7(y3+2x)3=x15c

dy2x3+3xy+x= 17.

dx3x2y+2y3 y

dyx(2x2+3y2+1)dy22x2+3y2+1

解：原方程化为=;;;;;2=2 222

dxy(3x+2y 1)dx3x+2y 1

令y2=u,;;;;;x2=v;;;;;;;则

du2v+3u+1

=.......(1) dv3v+2u 1

2v+3u+1=0

的解为（1， 1）；令Z=v 1，，Y=u+1，

方程组 3v+2u 1=0

y

+23 2z+3y=0dy 则有 =，，，，从而方程（1）化为

ydz 3z+2y=0+32 z

令

ydydtdt2+3tdt2 2t2

，，z，...........(2) t=，，则有=t+zt+z==

3+2tzdzdzdz3+2tdz

当

2 2t2=0时，，即t=±1，是方程(2)的解。得y2=x2 2或y2= x2是原方程的解

当

2 2t2≠0时，，分离变量得

3+2t122225

dt=dz两边积分的y+x=(y x+2)c 2

z2 2t

另外

y2=x2 2，或y2= x2，包含在其通解中，故原方程的解为y2+x2=(y2 x2+2)5c

王高雄等《常微分方程》第三版习题解答详细

18.证明方程

xdy==f(xy)经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程ydx

（）1.y(1+x2y2)dx=xdyxdy2+x2y2

=(2).

ydx2 x2y2

dydydydu== y,所以xdxdxdxdx

1duduu1

1=f(u),=(f(u)+1)=(uf(u)+u)ydxdx=y(f(u)+1)xx证明：因为xy=u,关于x求导导得y+x故此方程为此方程为变程。

解(1):当x=0或y=0是原方程的解，当xy≠0s时，方程化为令xy=u,则方程化为

dudu13

=(2u+u),3dxx2u+u

2

4

2xdy2

=1+xyydx1=dxx

=cx,即=cx,y=0也包含在此通解中。222

u+2xy+2

2

y

2

y故原方程的解=cxxy+2

2

2

2

2

,x=0.

14udu12+u2

u)+= 解 (2)令xy=u，则原方程化为=(u

x2 u2dxx2 u2

yx2y22 u21

du=dx，两边积分得ln=分离变量得+c，这也就是方程的解。

xx4u4

x

19. 已知f(x)∫f(x)dt=1,x≠0,试求函数f(x)的一般表达式.

x

解：设f(x)=y, 则原方程化为∫f(x)dt= 两边求导得

1

…… 此处隐藏：5761字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……