江苏省2015年高考文科数学复习 压轴大题突破练 函数与导数(1)

压轴大题突破练——函数与导数(一)

1．已知f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.

(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；

(2)若a ≠0，求函数f (x )的单调区间；

(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围．

解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2，

∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴k ＝f ′(1)＝4，又f (1)＝3，

∴切点坐标为(1,3)，

∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.

(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )，

由f ′(x )＝0得x ＝－a 或x ＝a 3

. ①当a >0时，由f ′(x )<0，得－a <x <a 3

. 由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a 3

， 此时f (x )的单调递减区间为(－a ，a 3)，单调递增区间为(－∞，－a )和(a 3

，＋∞)． ②当a <0时，由f ′(x )<0，得a 3

<x <－a . 由f ′(x )>0，得x <a 3

或x >－a ， 此时f (x )的单调递减区间为(a 3

，－a )， 单调递增区间为(－∞，a 3

)和(－a ，＋∞)． 综上：当a >0时，f (x )的单调递减区间为(－a ，a 3

)， 单调递增区间为(－∞，－a )和(a 3

，＋∞)． 当a <0时，f (x )的单调递减区间为(a 3

，－a )， 单调递增区间为(－∞，a 3

)和(－a ，＋∞)． (3)依题意x ∈(0，＋∞)，不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，等价于2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立，

可得a ≥ln x －32x －12x

在(0，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝ln x －3x 2－12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2 ＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2.

令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13

(舍)， 当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0.

当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：

x

(0,1) 1 (1，＋∞) h ′(x )

＋ 0 － h (x ) 单调递增 －2 单调递减

∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2，

∴a ≥－2，∴a 的取值范围是[－2，＋∞)．

2．已知函数f (x )＝(1＋x )e －2x ，g (x )＝ax ＋x 3

2

＋1＋2x cos x ．当x ∈[0,1]时， (1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x

； (2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．

(1)证明 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e

－2x ≥1－x ，

只需证明(1＋x )e －x ≥(1－x )e x . 记h (x )＝(1＋x )e －

x －(1－x )e x ， 则h ′(x )＝x (e x －e －

x )． 当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，

因此h (x )在[0,1]上是增函数，

故h (x )≥h (0)＝0，所以f (x )≥1－x ，x ∈[0,1]．

要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≤11＋x

， 只需证明e x ≥x ＋1.

记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，

当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0，

因此K (x )在[0,1]上是增函数，

故K (x )≥K (0)＝0.

所以f (x )≤11＋x

，x ∈[0,1]． 综上，1－x ≤f (x )≤11＋x

，x ∈[0,1]． (2)解 f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －(ax ＋x 32＋1＋2x cos x )≥1－x －ax －1－x 3

2－2x cos x ＝－x (a ＋1＋x 22＋2cos x )．(由(1)知) 故G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x .