湖北省部分重点中学2011年春季期中联考高二理科数学试题

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湖北省部分重点中学2011年春季期中联考高二理科数学试题

湖北省部分重点中学2010-2011学年度下学期期中联考

高二数学试卷（理科）参考答案与评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1—5 BCDAA 6—10 DABCD

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 2 e 2

e 414. 23 15. ( , 1) (0,1)

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

解：根据题意，力F所做的功为 W

13

1

xdx (x 1)dx …………… 4分

1

3

3

2

2

(1 0) [

12

2 2 (

2

12

1 1)]

2

176

J ……………11分

答：力F所作的功为

176

J． ……………12分

17．（本小题满分12分）

m cos

解：由z1 z2得 …………… 4分 2

4 m 3sin

消去m得 4 cos 3sin

2

4 (1 sin ) 3sin (sin

2

32

)

2

34

…………… 9分

∵ 1 sin 1，

∴ 1 7 ……………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）把直线的参数方程的对应坐标代入曲线方程并化简得6t 2t 1 0…2分 设A、B对应的参数分别为t1、t2，

则t1 t2

13

2

，t1t2

16

………4分

湖北省部分重点中学2011年春季期中联考高二理科数学试题

∴ 线段AB

的长为AB

1 t2

31 （Ⅱ）根据中点坐标的性质可得Q对应的参数为

t1 t2

……6分

， ……8分

2

6

∴ 点P( 1,3)到线段AB中点Q的距离为

PQ 16

3

19．（本小题满分12分）

解：设切点P x2

0, x0 2 x0 0

由y x2 2得y' 2x ∴kl 2x0

∴l的方程为：y x20 2 2x0 x x0 2

令y 0得x

x0 22x， 令x 0得y x2

0 2

12

三角形的面积为S 2

x0 22x x

20

2 ，x0 0 0

2

令S'

3x

20

2

x0 2

4x

2 0 x0

0 0 0

3

x当0 x0 3

，S' 0；

当x0

3

，S' 0 2

∴x( 2 0

3

时，Smin

12

2 2 ， 3 93

此时kl

，切点 4

3

33 ，

故l

的方程为 3y 8 0

…………12分

…………3分 …………6分

…………8分

…………10分

12分

…………

湖北省部分重点中学2011年春季期中联考高二理科数学试题

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ） f (x) e x(2x a) 2e x e x(2x a 2) ……… 3分 当x

a 22

时，f (x) 0,当x

a 22

a 22

时，f (x) 0, ……… 5分

a 22

, )上是减函数．……… 6分

∴ f(x)在( ,)上是增函数，在(

（Ⅱ）方程f(x) 1即(2x a) ex，∴a 2x ex ……… 7分 记g(x) 2x ex,x [1

,2]，则g (x) 2 ex,x [1

2

2

,2]

当

12

x ln2时，g (x) 0；当ln2 x 2时，g (x) 0

而g(1

g(2) 4 e2

2

) 1

，g(ln2) 2ln2 2， ∴

1 a 2ln2 2

21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵h x 2x

a

2

x lnx，其定义域为 0，

， ∴h x 2

a2x

2

1x

，x 0，

∵x 1是函数h x 的极值点，∴h 1 0，即3 a2

0

∵a

0，∴a 经检验当a x 1是函数h x 的极值点，

∴a

（Ⅱ）对任意的x1 1，e ，都存在x2 1，e 使得f x1 g x2

成立等价于f(x)max g(x)max 当x ［1，e］时，g x 1

1x 0，

∴ 函数g x x lnx在 1，e 上是增函数，

∴g(x)max g e e 1 ……… 9分 ……… 12分

……… 13分………1分 ………2分 ………4分

……… 5分

……… 6分 ……… 7分

湖北省部分重点中学2011年春季期中联考高二理科数学试题

f x 1

ax

22

x a x a

x

2

，x 1,e ，a 0

x a x a

x

2

①当0 a 1时，x ［1，e］，f x

0，

∴函数f x x

a

2

x

在［1，e］上是增函数，∴f x max f e e

a

2

e

e

a

2

e

e 1即f(x)max

g(x)max恒成立，满足题意； ……… 9分

②当1 a e时，若1 x a，则f x

x a x a

x

2

0，

若a x e，则f x

x a x a

x

2

0

∴函数f x x

a

2

x

在 1,a 上是减函数，在 a，e 上是增函数，

2

而f 1 1 a， f e e

2

a

e

a)f 1 ＜f e

即1 a

2

f

x max

f e e

a

2

e

，

e

a

e

e 1即f(x)max

g(x)max恒成立；

2

b)f 1

f e a e时，f x max f 1 1 a

此时，f x max g x max， 不合题意； ……… 12分 ③当a e时，x ［1，e］，f x

2

x a x a

x

2

0，

∴函数f x x

a

x

在 1，e 上是减函数， ∴f x max f 1 1 a

2

此时，f x max g x max， 不合题意； ……… 13分 综上知，a

的取值范围为(0,． ……… 14分