江苏省南京市2012-2013学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)苏

江苏省南京市2012-2013学年高二（上）期末数学试卷（理科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置上

1．（3分）复数

（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第 四 象限．

22

2．（3分）已知命题p： x∈R，x＞x﹣1，则¬p为 x∈R，x≤x﹣1 ．

2

3．（3分）在平面直角坐标系中，准线方程为y=4的抛物线标准的方程为 x=﹣16y ．

1

4．（3分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则a的范围为 a＜1 ．

22222

5．（3分）若圆x+y=4与圆x+（y﹣3）=r （r＞0）外切，则实数r的值为 1 ．

6．（3分）若复数z满足（z+i）（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则|z|= 5 ．

2

7．（3分）函数y=2sinx﹣x，x∈[0，π]的单调递减区间为 （

，π） ．

22

8．（3分）（2012 朝阳区二模）直线y=kx+3与圆（x﹣3）+（y﹣2）=4相交于M，N两点，若MN=2

，则实数k的值是 0或﹣ ．

9．（3分）已知动点M到A（4，0）的距离等于它到直线x=1的距离的2倍，则动点M的轨

22

迹方程为 3x﹣y=12 ．

3

10．（3分）观察下列等式：×，

=（﹣）×，

*

=（﹣）×，

= （﹣）×

=（﹣）

．

=（﹣）×， 可推测当n≥3，n∈N时，

11．（3分）已知椭圆

+

=1与双曲线

﹣y=1有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个

2

交点，则|PF1| |PF2|= 5 ．

4

12．（3分）在直角三角形ABC中，∠C为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为

；按此方法，在三棱锥S﹣ABC中，

三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥S﹣ABC外接球的半径为

．

222

13．（3分）已知曲线y=x （x＞0）在点P处切线恰好与圆C：x+（y+1）=1相切，则点P的坐标为 （，6） ．

5

14．（3分）若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且

2

在I上是减函数，

则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为 1 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（8分）已知命题p：任意x∈R，x+1≥a，命题q：方程

2

﹣=1表示双曲线．

（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

6

16．（8分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4． （1）求直线CD的方程； （2）求圆P的方程．

17．（10分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=3，E为线段SD上的一点．

（1）求证：AC⊥BE；

（2）若DE=1，求直线SC与平面ACE所成角的正弦值．

7

8

18．（10分）如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．

（1）求正四棱锥的体积V（x）；

（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值？

9

19．（10分）如图，已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，

﹣b），直线AF与椭圆的右准线交于点

B，与椭圆的另一个交点为点C，若F恰好为线段AB的中点．

（1）求椭圆的离心率； （2）若FC=，求椭圆的方程．

10

20．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．

（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；

（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；

2

（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．

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