新高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评6比较法证明不等式

新高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评6比较法证明不等式北师大版选修4_5

1 / 5新高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评6比较法证明不等

式北师大版选修4_5

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、选择题

1．已知x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的大小关系是( )

A ．M ≥N

B ．M ≤N

C ．M ＝N

D ．不能确定 【解析】 ∵2M －2N ＝(x －y )2＋(x －1)2＋(y －1)2≥0，∴M ≥N .

【答案】 A

2．如果实数a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( )

A ．ab >ac

B ．c (b －a )>0

C ．ac (a －c )<0

D ．cb 2<ab 2

【解析】 由条件知a >0，c <0，b 的符号不定，

∴A 一定成立，B 一定成立，C 一定成立，而D 中，b 可能为0，故不一定成立．

【答案】 D

3．已知a >b >－1，则

1a ＋1与1b ＋1的大小关系是( ) A.

1a ＋1>1b ＋1 B ．1a ＋1<1b ＋1 C.1a ＋1≥1b ＋1 D ．1a ＋1≤1b ＋1

【解析】 ∵a >b >－1，∴a ＋1>0，b ＋1>0，a －b >0，则

1a ＋1－1b ＋1＝b －a a ＋b

＋<0，∴1a ＋1<1b ＋1

. 【答案】 B

4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝

an bn ＋1，其中a ，b 均为正数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是( )

A ．a n >a n ＋1

B ．a n <a n ＋1

C ．a n ＝a n ＋1

D ．与n 的取值有关 【解析】 a n ＋1－a n ＝a n ＋b n ＋＋1－an bn ＋1

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＝

a

bn＋b ＋bn ＋

.

∵a>0，b>0，n∈N＋，

∴a n＋1－a n>0，a n＋1>a n.

【答案】 B

5．设x＝2，y＝7－3，z＝6－2，则x，y，z的大小关系是( ) A．x>y>z B．z>x>y

C．y>z>x D．x>z>y

【解析】y＝7－3＝

4

7＋3

，z＝6－2＝

4

6＋2

.

∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.

又x－z＝2－

4

6＋2

＝

23＋2－4

6＋2

＝

23－2

6＋2

>0，

∴x>z，∴x>z>y.

【答案】 D

二、填空题

6．已知a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________________．【解析】(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(b1－b2)(a1－a2)．∵a1≤a2，b1≤b2，∴上式≥0.

故a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.

【答案】a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1

7．若x<y<0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)·(x＋y)，则M，N的大小关系为__________．【解析】M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)

＝(x－y)(x2＋y2)－(x＋y)2]

＝－2xy(x－y)．

∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0，

∴－2xy(x－y)>0，∴M－N>0，即M>N.

【答案】M>N

8．已知a>0,1>b>0，a－b>ab，则1＋a与

1

1－b

的大小关系是__________.

【导学号：94910019】

【解析】∵a>0,1>b>0，a－b>ab，

∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab>1.

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3 / 5从而1＋a 11－b ＝＋a －b >1， ∴1＋a >11－b . 【答案】 1＋a >1

1－b

三、解答题

9．若q >0，且q ≠1，m ，n ∈N ＋，比较1＋q

m ＋n 与q m ＋q n 的大小． 【解】 1＋q

m ＋n －q m －q n ＝q m (q n －1)－(q n －1)

＝(q n －1)(q m －1)，

①当0<q <1时，q n <1，q m <1.

②当q >1时，q n >1，q m >1.

∴(q n －1)(q m －1)>0，∴1＋q m ＋n >q m ＋q n

. 10．已知a ，b 均为正数，n ∈N ＋，求证：b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b

. 【证明】 设P ＝b n －1a n ＋a n －1b n －? ??

??1a ＋1b ＝b n －1－a n －1a n ＋a n －1－b n －1

b n

＝(a n －1－b n －1)? ??

??1b －1a ＝a n －1－b n －1a n －b n

a n

b n

. 若a >b >0，则a

n －1>b n －1，a n >b n ， 所以a n －1－b n －1>0，a n

－b n >0，且a n b n >0， 因此P >0；

若b >a >0，则a

n －1<b n －1，a n <b n ， 所以a n －1－b n －1<0，a n

－b n <0，且a n b n >0，故P >0； 若a ＝b >0，则P ＝0.

综上所述，P ≥0，故原式成立．

能力提升]

1．已知函数f (x )＝? ????12x ，a ，b 是正数，A ＝f ? ????a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ? ??

??2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )

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4 / 5A ．A ≤B ≤C

B ．A ≤

C ≤B C ．B ≤C ≤A

D ．C ≤B ≤A 【解析】 ∵

a ＋

b 2≥ab ≥2ab a ＋b

， 又f (x )＝? ??

??12x 在R 上是减函数． ∴f ? ????a ＋b 2≤f ()ab ≤f ? ??

??2ab a ＋b . 【答案】 A 2．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( )

A ．a >b >c

B ．a >c >b

C ．c >a >b

D ．c >b >a

【解析】 ∵2<e<10，∴0<lg e<12. ?

????a －b ＝－?a >b ，

a －c ＝lg e －12lg e ＝12

lg e>0?a >c ，b －c ＝lg e ? ????lg e －12<0?b <c ?a >c >b . 【答案】 B

3．一个个体户有一种商品，其成本低于350元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应__________(填“月初”或“月末”)出售．

【解析】 设这种商品的成本费为a 元．月初利润为L 1＝100＋(a ＋100)×2.5%，月末售出的利润为L 2＝120－2%a .

则L 1－L 2＝100＋0.025a ＋2.5－120＋0.02a

＝0.045? ??

??a －3 5009. ∵a <350，

∴L 1－L 2<0，

∴L 1<L 2，月末出售好．

【答案】 月末

4．已知a ＞2，求证：log a (a －1)＜log(a ＋1)a .

【证明】 ∵a ＞2，

则a －1＞1，

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5 / 5∴log a (a －1)＞0，log (a ＋1)a ＞0，

由于log a a －log a ＋a

＝log a (a －1)·log a (a ＋1) ＜?

?????log a a －＋log a a ＋22 ＝????

??log a a 2－22. ∵a ＞2，∴0＜log a (a 2－1)＜log a a 2＝2， ∴??????log a a 2－22＜??????log a a 222＝1， 因此log a a －log a ＋a

＜1. ∵log (a ＋1)a ＞0， ∴log a (a －1)＜log (a ＋1)a .…… 此处隐藏：1513字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……