抽样推断中比例估计的几种方法及比较

统计 抽样推断 比例估计

理论探索

抽样推断中比例估计的几种方法及比较

抽样推断中比例估计的几种方法及比较

艾小青

内容提要：本文通过比例估计的例子，揭示了不同抽样理念、统计学派以及估计方法在抽样推断中的应用及特点，特别的分析了基于模型的抽样理念下，贝叶斯思想和极大似然思想的应用。本文反映出统计学科中，面对同一个问题有各种不同角度的理解和解决方法。关键词：比例估计；基于模型；贝叶斯方法；极大似然估计

TheMethodologyandComparisonofProportionEstimation

inSamplingReference

AiXiaoqing

Abstract:Thepaperrevealstheapplicationofdifferentkindsofsamplingideas,statisticalschools,andestimationmethodsinsamplingreference,especiallystudiestheapplicationofbayesianmethodandmaximumlikelihoodestimationmethodunderthemodel-basedsampling.Thepaperreflectsthatinstatisticsscience,comprehensionsandsolutionsofthesameproblemcanbefromdifferentstandpoints.

Keywords:proportionestimation;model-based;Bayesianmethod;maximumlikelihoodestimation

作者简介：艾小青（1982年生），湖南人，北京工业大学经管学院讲师，研究方向：应用统计。

1引言

在简单随机抽样下，如何利用样本去估计总体比例，本文通过这个简单的问题，揭示了两大抽样理念“基于设计和基于模型”，两大统计学派“频率学派和贝叶斯学派”和两种主要估计方法“矩估计和极大似然估计”在抽样推断中的应用及特点。

比例相当于目标变量取值为0或1的均值，总体单元数为N，总体中具有某特征的个数为T，比例为P=T/N。在样本量为的不放回简单随机抽样下，设样本中具有该特征的个数为t，样本比例为p=t/n。如何估计总体比例P呢，这个问题看似简单，却能带来有益的思考和丰富的信息。

本去推断确定总体。

基于模型：存在一个超总体（模型），总体只是超总体的一个实现（模型生成），可见总体取值即是随机的，抽样也是随机的，样本具有双重随机性。在一定的模型假设下，揭示样本单元与非样本单元的联系，再通过样本数据估计（也可以说是预测）非样本数据，进而得到基于模型下的估计。

可见：基于设计的理念认为总体取值是确定的，立足于抽样设计，考察在一定的抽样设计下，如何用随机样本去推断确定总体；基于模型的理念认为总体取值是随机的，立足于总体之上“超总体”的模型假定，考察在一定的模型假定下，如何用得到的量去推断未得的量以及未知的参数。

值得注意的是，两种理念下，估计量本身的内涵就不一样，对估计量期望或方差的解释也不一样。

2相关概念

2.1抽样中的两种理念

抽样中有两种理念：基于设计和基于模型。基于设计：传统上把总体取值视为固定的，样本是随机的，其随机性是由抽样导致，并用随机样

2.2统计中的两种学派

数理统计有两大学派：频率学派和贝叶斯学派。

统计 抽样推断 比例估计

抽样推断中比例估计的几种方法及比

较

统计一般是归纳式推断，同样是利用样本推断总体，由于信息不充分（样本只包含了参数的部分信息），做法有分歧也很正常。

频率学派：需要推断的参数未知但固定，样本是随机的，着眼点在样本空间，针对样本的分布。

贝叶斯学派：样本视为固定而参数视为随机，着眼点在参数空间，针对参数的分布，并且遵循的模式为参数的先验分布（主观意义）通过样本信息加入而改进得参数的后验分布。

两种学派建立在各自的逻辑体系上，其优劣难以比较，取决于具体应用的情况。

得：P1=p，也有T1=Np。

＾＾

3.2基于设计、频率学派，极大似然估计

样本中具有该特征的个数t是个随机变量，服从超几何分布：

P（t）=

CTCN-TCN

n

tn-t

，t=0，1，2，…，min（n，T）。

现在观测到，事件已经发生了。

在不同的T下，事件t发生的概率不同。把

P（t）看作关于T的函数PT（t），求出T为何值时，PT（t）达到最大值。

PT（t）=CTCN-T/CT-1CN-（T－1）

T-1（）CNCN

＝T（N－T＋1－n+t），

PT（t）≥PT-1（t）的充要条件是：T（N－T＋1－n+t）≥（T－t）

解得：T≤N＋1t。

（N－T＋1）

t

n-t

t

n-t

2.3估计中的两种主要方法

估计有两种主要方法：矩估计和极大似然估计。矩估计的理论根据是大数定律，也联系了最小二乘法的思想，用各阶样本矩估计相应的总体矩（或参数）。

极大似然估计的思想简单而深刻：产生结果（样本特征）的原因（参数）可能有多个，找出最有可能的原因，该参数下，出现该样本特征的概率最大。

极大似然估计一般优于矩估计，其渐进方差最小，但在非参数领域极大似然估计基本不适用。

可见：PT（t）随着T的增大先增后减，在

T=

3各种情况下的估计

3.1基于设计、频率学派、矩估计

不放回简单随机抽样下，样本比例p是总体比例P的无偏估计。

证明：

定义指标值Yi=有：

N＋1t时达到最大值

。≤t得：T=，≤n

N＋1t相应的P=/N≈t=p。≤＾2＾2

3．3基于设计、贝叶斯学派、矩估计

总体中具有某特征的个数T有确定的唯一的值，但却是未知的。对于参数T，在我们的主观判断中，

0

1具有该特征

不具有

，i=1,2,…,N，则

服从一定的概率分布。

在只知道总体单元数为N，没有其他信息的情况下，T的先验分布为离散均匀分布：

P=T=1ΣYi=；p=t=1

i=1定义示性函数Ii=

N

i=1

ΣY=。

i

n

0

P（T＝k）=1，k＝0，1，2，…，N。

这等价于的先验分布也为离散均匀分布：

1在样本中

不在

，i=1,2,…,N。

Ii为随机变量，在不放回简单随机抽样下，有E（Ii）=n，所以：E（）=E

Yi/n=ΣYi/n=。

Ni=1

即：E（p）=P。

N

kPP==，k＝0，1，2，…，N。

N＋1

注：这不同于[0，1]之间的连续均匀分布。事件S为“样本中具有该特征的个数为t”

≈≈

Σ

i=1

ΣIiYi/n=ΣE（Ii）

i=1

N

Σ

N

T=k下，事件S的概率为P（S|T=k）=

CkCN-kCN

tn-t

，

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抽样推断中比例估计的几种方法及比

较

根据全概率公式，事件S的概率为：

P（S）＝ΣP（T=k）P（S|T=k）

k=0

N

则T=ΣYi；P=T/N

i=1

N

并且，Yi看作随机变量，独立同分布，服从两点分布：

=Σk=tN＋1

N+t-n

CkCN-kCN

n

tn-t

tn-t

=nΣCkCN-k。N＋1CNk=t

N+t-n

P（Yi＝1）＝θ；P（Yi＝0）＝1－θ。

并有：T服从二项分布T～B（N-θ）

t

n-t

T的后验分布为：

CC

P（T=k|S）=（）（）=N+t-nkN-k，

P（S）tn-t

ΣCkCN-k

k=t

P的期望为θ。

值得注意的有：

1.Yi看作随机变量，而不是传统理念中的确定

值。得到的Yi值只是随机变量的一个实现值。

k=t，t+1，…，N＋t-n

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