2019-2020年高考数学一轮总复习 16.1 相似三角形的判定及有关性

2019-2020年高考数学一轮总复习 16.1 相似三角形的判定及有关

性质教案理新人教A版

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定理：在空间中，

一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥

′.

，在6.①中椭圆上任取

，则点A到点F的距离

e(称点F为这个椭圆

为离心率).

无限接近α时，平面π

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16.1 相似三角形的判定及有关性质

典例精析

题型一 相似三角形的判定与性质

【例1】 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE

与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F.

(1)求证：△ABC ∽△FCD ；

(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长.

【解析】(1)因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠1.

又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.

(2)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M.因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝(BC CD

)2＝4，又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12

×10×AM，所以AM ＝4.又因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BD BM ，因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12

BC ＝5，所以DE 4＝55＋52

，所以DE ＝83. 【变式训练1】如右图，在△ABC 中，AB ＝14 cm ，AD BD ＝59

，DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD ＝12 cm.求△ADE 的面积和周长.

【解析】由AB ＝14 cm ，CD ＝12 cm ，CD ⊥AB ，得S △ABC ＝84 cm2.

再由DE ∥BC 可得△ABC ∽△ADE.由S △ADE S △ABC ＝(AD AB )2可求得S △ADE ＝757 cm2.利用勾股定

理求出BC ，AC ，再由相似三角形性质可得△ADE 的周长为15 cm.

题型二 探求几何结论

【例2】如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动.

(1)若AE EB ＝12

，求证：3EF ＝BC ＋2AD ； (2)若AE EB ＝23

，试判断EF 与BC ，AD 之间的关系，并说明理由； (3)请你探究一般结论，即若AE EB ＝m n

，那么你可以得到什么结论？ 【解析】 过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G 、H.

(1)因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13

， 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13

，即3EG ＝BH ， 又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ，从而EF ＝13

(BC －HC)＋AD ， 所以EF ＝13BC ＋23

AD ，即3EF ＝BC ＋2AD. (2)EF 与BC ，AD 的关系式为5EF ＝2BC ＋3AD ，理由和(1)类似.

(3)因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m m ＋n

， 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝m m ＋n

BH. EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝m m ＋n

(BC －AD)＋AD ， 所以EF ＝m

m ＋n BC ＋n m ＋n

AD ， 即(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.

【点拨】 在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪.

【变式训练2】如右图，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边上中点，点Q 在线段BC 上，设BQ ＝k ，是否存在这样的实数k ，使得以Q ，C ，P 为顶点的三角形与△ADP 相似？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.

【解析】设存在满足条件的实数k ，

则在正方形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，

由Rt △ADP ∽Rt △QCP 或Rt △ADP ∽Rt △PCQ 得AD QC ＝DP CP 或AD PC ＝DP CQ

， 由此解得CQ ＝1或CQ ＝14

. 从而k ＝0或k ＝34

.

题型三 解决线的位置或数量关系

【例3】(2009江苏)如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD ，求证：AB ∥CD.

【证明】 由△ABC ≌△BAD 得∠ACB ＝∠BDA ，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，

所以∠CAB ＝∠CDB.

再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB ＝∠DBA ，

所以∠DBA ＝∠CDB ，即AB ∥CD.

【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点O ，AB ∥A1B1且AB ＝12

A1B1，△AOB 的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为 .

【解析】因为AB ∥A1B1且AB ＝12

A1B1，所以△AOB ∽△A1OB1 因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比.

所以△A1OB1的外接圆直径为2.

总结提高

1.相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导.相似三角形的证法有：定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL 法.

相似三角形的性质主要有对应线的比值相等(边长、高线、中线、周长、内切圆半径等)，对应角相等，面积的比等于相似比的平方.

2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线.