高数多元函数习题

多元函数习题

一、 填空题

y 1. 若f x y, x2 y2，则f(x,y) x

xy = 2. lim x x2 y2 y

3. 设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则limx 0x2f(a x,b) f(a x,b) x

2z x y,且fx(x,0) x,f(0,y) y2，则f(x,y) 4. 设z f(x,y)有 x y

5. 若y nz f(x mz)，则m z z n x y

u uy6. 利用r x2 y2, arctan将方程x y 0化为极坐标的形式为 y xx

7. 由方程xyz x2 y2 z2 2所确定的函数z z(x,y)在点(1,0, 1)处的全微分

dz

8. 函数u ln(x y2 z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3, 2,2)方向的方向导数为

2z1 9. 设z f(xy) y (x y),f, 具有二阶连续导数，则 x yx

10. 已知曲面z 4 x2 y2上点P处切平面平行于平面2x 2y z 1，则点P的坐标为

二、主观题

1. 设 f(x,y) |x y| (x,y),其中 (x,y)在点 (0,0)的邻域内连续，问：

（1） (x,y)在什么条件下，偏导数fx(0,0),fy(0,0)存在；

（2） (x,y)在什么条件下，f(x,y)在(0,0)处可微。

x2y2

, 2. 证明函数f(x,y) (x2 y2)3/2

0, x2 y2 0x2 y2 0在点(0,0)处连续且偏导数存

在，但不可微。

2zy3. 设z xf(xy,),f具有连续的二阶偏导数，求。 x yx3

4. 设函数z z(x,y)由方程z (x y) x (y z) 0所确定，其中 , 有连续导

数，求dz.

5. 设z是x,y的函数，而z u3 v3，x u v,y u2 v2，求 z. x

2z 2z1226. 试用变换x (u v),y uv变换方程2 2 a2z 0. x y2

2x2 y2 z2 458. 求曲线 在点M( 2,1,6)处的切线和法平面方程。 22 x 2y z

3x 2y z 559. 求过直线L: 且与曲面2x2 2y2 2z 相切的平面方程。 8 x y z 0

10. 求函数z xy(4 x y)在由直线x 1,y 0,x y 6所围成的闭区域D上的

最大值和最小值。

x2y2z2

11. 在第一卦限内作椭球面2 2 2 1的切平面，使得切平面与三坐标面所abc

围成的四面体的体积最小，求切点坐标。