3-4-函数的单调性与曲线的凹凸性

深圳大学高数 吴向平

第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点

第三章

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一、单调性的判别法y

y f ( x)A

B

y

A y f ( x)B

o

a

b

x

o a

b x

定理：设函数 y f ( x )在 (a, b)可导, 在[a, b]连续.(1)如果在(a, b)内f ( x ) 0,则f ( x ) 在[a, b]单调增加；

(2)如果在(a, b)内f ( x ) 0,则f ( x) 在[a, b]单调减小。

所以可通过判断函数导数的符号来判断函数的 单调性.

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证(1): x1 , x2 [a, b], 且 x1 x2 , 由拉格朗日中值定理得f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )( x1 x2 )

0

f ( x1 ) f ( x2 ).

y f ( x )在[a, b]单调增加.

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例1 讨论函数y x 的单调性.3

y

解:

y 3x

2

y xo

3

当 x 0 , y 0. y x 3在( ,0)和(0, )都是单调增加 .又 y x 在x 0连续. y x 3在( )单调增加.3

x

一般的，如果连续函数 ( x )在某区间内除了有限 f 那么f ( x )在整个区间上单调增加 (或减小) .

个点以外，在其余各点 处的导数均为正(或负 ),

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例2.确定函数

的单调区间.

解: f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 令 f ( x ) 0 , 得 x 1 , x 2

xf (x) f (x)

( , 1)

10

(1 , 2)

2 0 1

( 2 , )

2

的单调增区间为 ( , 1] , [2 , )的单调减区间为 [1 , 2].

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例3 确定函数 f ( x ) 2 解: f ( x ) x 3 1 3

3

x 的单调区间.2

2 33 x

( x 0)

当x 0时，导数不存在 .当 x 0时，f ( x ) 0,

f ( x )在( ,0]上单调减少；

y 3 x2

当0 x 时，f ( x ) 0, f ( x )在[0, )上单调增加；

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函数单调区间的分界点必是导数等于零或 导数不存在的点.求函数的单调区间的步骤:(1) 求导数 f ( x );(2) 求f ( x ) 0和f ( x )不存在的点 ;

( 3) 用f ( x ) 0的点和 f ( x ) 不存在的点 来划分函数 f ( x )的定义域 , 然后判断各 个部份区间内导数的符号.

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利用函数的单调性证明不等式例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.证： 令 f ( x ) x ln( x ), 11 x 则 f ( x ) 1 0 (当 x 0) 1 x 1 x

又 f ( x )在x 0连续. f ( x )在[0, )上单调增加； 当x 0, f ( x ) f (0) 0,

即 x ln( x ). 1

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例5. 证明

时, 成立不等式

sin x 2 证: 令 f ( x ) , x cos x x sin x cos x f ( x ) 2 ( x tan x ) 0 2 x x

则 ( x ) 1 sec2 x tan 2 x 0 0,

0

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二、曲线的凹凸性曲线的凹凸性是反映函数形状的另一个指标。 单调性仍不够。递增 递减

如何区分？

如何区分？

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定义：设 f ( x )在区间 I 上连续, 如果对 I 上任 x1

x 2 f ( x1 ) f ( x2 ) 意两点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 2 2 那末称 f ( x ) 在 I 上的图形是 的 ; 凹 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 如果恒有 f ( ) , 那末称 2 2 f ( x )在 I 上的图形是凸 . 的yy f ( x)

y

y f ( x)

o

x1

x1 x2 2

x2

x

o

x1

任意弧段位于所张弦的下方 任意弧段位于所张弦的上方

x1 x2 2

x2

x

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曲线凹凸性的判定y

y f (x )A

B

y

y f ( x)

B

A

o

a

b

x

o

a

b

x

定理：设 f ( x ) 在 (a , b) 具有二阶导数, 在[a , b]连续. (1)如果在 (a , b) 内 f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b]是凹的 ; ( 2)如果在 (a , b) 内 f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b]是凸的 .

所以可通过判断函数的二阶导数的符号来判断 函数曲线的凹凸性。

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证(1): 任取 x1 , x2 [a, b], 且 x1 x2 ,x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( ) 2 x1 x2 x1 x2 [ f ( x2 ) f ( )] [ f ( ) f ( x1 )] 2 2

x 2 x1 x 2 x1 f ( 1 ) f ( 2 ) 2 2 1 2 x2 x1 [ f ( 2 ) f ( 1 )] x2 x1 x1 x2 2 2 x2 x1 f ( ) ( 2 1 ) 0. 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 即 f ( x )的图形是凹的 . 2 2

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例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 3 x 2 , y 6x , 解: y

令 y 0 , 得 x 0当x 0时， y 0, 曲线 在( ,0]为凸的；

当x 0时， y 0,

曲线 在[0, )为凹的.

注意到点 0,0)是曲线凹凸的分界点 ( .

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例2 讨论曲线 y x1 3 的凹凸性.解: y 1 3

x

2 3

, y x2 9

5 3

当x 0时，y 不存在.当x 0时，y 0, 曲线 在( ,0]为凹的；当x 0时， y 0,

曲线 在[0, )为凸的.

注意到点 0,0)是曲线凹凸的分界点 ( .

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连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。拐点的候选点f ( x ) 0y

CBA

f ( x )不存在但反之不真。 y x 4在x 0点. 例o

x

问题：如何判断候选点是否真的是拐点？

如果一个连续点左右两侧的二阶导数异号， 则此点必是拐点。