常微分方程作业(二)

《常微分方程》第二次作业

第1章 初等积分法

1．7—1．8节作业

1．求解下列方程

（1）(xy y )2 (y )2 1 （2）xy (x2 1)(y 1) 0

（3）a2(y )2 [1 (y )2]3 （4）yy (y )2 y2y 0

（5）yy (y )2 1 0 （6）3(y )2 y y 0

（7）yy (y )2 6xy2 0 （8）x2yy x2(y )2 4xy 8y2 0

2．求抛物线族y ax2的正交轨线．

x2y2

1的正交轨线，其中 为参数． 3．求曲线族2 2aa

4．求一曲线．使其上每一点的切线斜率为该点横坐标的2倍，且通过点P(3,4)．

5．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比．

（1）如果过4小时的细菌数即为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？

（2）如果在3小时的时候，有细菌数104个，在5小时的时候有4 104个，那么在开始时有多少细菌？

6．重为100kg的物体，在与水平面成30 的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：

（1）物体运动的微分方程；

（2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．

第2章 基本定理

1．试画出下列各方程的积分曲线图：

（1）y a（a为常数） （2）y x2

dy1 2 （3）y y （4）dxx

dy x （5）dx

dy xtany在区域 2．试判断方程dx

（1）R1: 1 x 1,0 y （2）R2: 1 x 1, y 44

上是否满足定理2.1的条件？

3．判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且惟一？

（1）y x2 y2 （2）y x siny

（3）y x （4）y y 1

3

dy334．讨论方程 y在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过(0,0)的一切解． dx2

dy x y2满足初值条件y(0) 0的近似解： 5．试用逐次逼近法方程求dx1

0(x)， 1(x)， 2(x)， 3(x)

6．试证明：对于任意的x0及满足条件0 y 1的y0，方程dyy(y 1)的解y y(x) 22dx1 x y在( , )上存在．

2dy (1 y2)exy的每一个解的最大存在区间，7．指出方程以及当x趋于这区间的右端点dx

时解的性状．

dy f(x,y)的任8．设f(x,y)在整个平面上连续有界，对y有连续偏导数，试证明方程dx

一解y (x)在区间( , )上有定义．

9．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解，并作图．

dydy y （2） y x （1）dxdx

dy x x2 2y （3）dx

10．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在x,y轴上的截距之和为1．

11．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数a．

参考答案

第1章 初等积分法

1．7—1．8节作业

x C13x2

2x C1 1 C2x C3 （2）y C1 C2e2 x 1．（1）y 62

y（3）(x C1)2 (y C2)2 a2 （4） C2eC1x y C12

（5）(x C1)2 y2 C2 （6）(y C1)2 C2x C3

（7）lny x3 C1x C2 （8）5lny C1 C2x5 8lnx 2．x2 2y2 C2

3．x2 y2 2a2lnx C

4．y x2 5

104

5．（1）8倍， （2）个 8

6．（1）略 （2）t 5s时，x 62.5m，v 25m/s，a 5m/s2．

第2章 基本定理

1． （略）

2．（1）不满足 （2）满足

3．（1）整个xoy平面 （2）整个xoy平面

（3）除y轴x = 0外的整个xoy平面 （4）除x轴y = 0外的整个xoy平面

当x a 0, 4．对a 0，y 3

2 (x a),当x a

x2x2x5x2x5x8x11

5． 0(x) 0， 1(x) ， 2(x) ， 3(x) 22022016044002

6．提示：y 0和y 1是解．

7．提示：y 1是解．

8．见学习指导典型例题的例3

19．（1）有，y 0 （2）无 （3）有，y x2 2

C y Cx C 1 10． 1 x (1 C)2

11．x y a

232323

选做作业

一、填空题

1. 若 (x)在(-∞，+∞)上连续，则方程y (x)y的任一非零解( )与x轴相交.

2. 方程y y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是（ ）．

dy f(x,y)初值解唯一的( )条件. 3. fy (x,y)连续是保证方程dx

4. 方程y + ysinx = ex的任一解的存在区间必是( )．

二、单选题

dy y2过点(0，0)的解为y sinx，此解的存在区间是( ). 1. 方程dx

（A）（－∞，＋∞） （B）[ ,] 22

（C）（－∞，0） （D）［0，＋∞］

dy y满足解的存在 2. 方程dx

唯一性定理条件的区域是( ).

(A)全平面； (B)y＞0的上半平面；

(C)y＜0的下半平面； (D)除去x轴的全平面.

3. 方程y y x 2是否存在奇解( ).

(A)无奇解； (B)有奇解；

(C)不一定； (D)可能有奇解.

4.函数f(x, y)=｜y｜对y是否满足李普希兹条件( ).

(A)不满足； (B)满足.

(C)可能满足； (D)可能不满足

参考答案：

一、填空题

1.不能 2.满足1 y2 0的平面区域

3.充分 4.（ , ）

二、单选题

1．B 2．D 3．A 4．B