人教新课标版数学高一- 人教A版必修4学案 弧度制

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学习目标：1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．象限角的概念

2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．

3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．

学习重点：角度制与弧度制的概念，弧度和角度的转换；弧长公式和扇形面积公式。

学习难点：区间角与象限角

【学法指导】1．通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而

引出弧度制．

2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．

3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积

公式的联系与区别.

一．知识导学

1．1弧度的角：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 表示，

读作 ．

2．弧度制：用 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．

3．角的弧度数的规定：

一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 . 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是 .

这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．

4．角度与弧度的互化：

(1)角度转化为弧度：

360°＝ rad ； 180°＝ rad ； 1°＝ rad≈0.017 45 rad.

(2)弧度转化为角度：

2π rad ＝ ； π rad ＝ ； 1 rad ＝????180π°≈57.30°＝57°18′.

二．探究与发现

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【探究点一】弧度制

问题11弧度的角是怎样规定的？

1弧度的角和圆半径的大小有关吗？

你能作出一个1弧度的角吗？

问题2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.

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规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么_______________，即_________. 问题3除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容．

问题4角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.

【探究点二】弧度制下的弧长公式和扇形面积公式

问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．

问题2角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：

设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则

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【探究点三】利用弧度制表示终边相同的角

在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z)，其中α的单位必须是弧度． 问题1 利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.

问题2 利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.

【典型例题】

例1．(1)把112°30′化成弧度； (2)把－7π

12

化成角度．

小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧

度转化为角度时，直接用弧度数乘以????

180π°即可． 跟踪训练1。将下列角按要求转化：

(1)300°＝________rad ； (2)－22°30′＝________rad ；

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精校版 (3)8π5

＝________度． 例2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大

面积是多少？

小结 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、

转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．

跟踪训练2。一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．

例3．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角：

(1)－1 500°；

(2)23π6

； (3)－4.

小结 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用．

跟踪训练3。将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式是___________．

三．巩固训练

1．时针经过一小时，时针转过了

( ) A ．π6 rad B ．－π6 rad C ．π12

rad D ．－π12 rad 2．若α＝－3，则角α的终边在 ( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 ( )

A ．1

B ．4

C ．1或4

D ．2或4

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精校版 4．把－114

π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是_______． 四．课后小结

1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都

有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．

易知：度数×π180

rad ＝弧度数，弧度数×????180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.