高三数学第一轮复习课时作业变化率与导数导数的运算

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课时作业(十二) 第12讲 变化率与导数、导数的运算

时间：45分钟 分值：100分

基础热身

1．2011·余姚模拟 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )

A ．4x －y －3＝0

B ．x ＋4y －5＝0

C ．4x －y ＋3＝0

D ．x ＋4y ＋3＝0

2．2011·聊城模拟 曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )

A ．e 2

B ．2e 2

C ．4e 2 D.e 22

3．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )

A ．－15

B ．0 C.15

D ．5 4．2011·临沂模拟 若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )

A ．1 B. 2 C.

22 D. 3 能力提升

5．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t

(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.134

6．y ＝cos x 1－x

的导数是( ) A.cos x ＋sin x ＋x sin x (1－x )2 B.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )

2 C.cos x －sin x ＋x sin x 1－x D.cos x ＋sin x －x sin x (1－x )

2 7．已知直线l 经过点P ???

?π4，1，且倾斜角为3π4，则下列曲线中与l 相切于点P 的是( ) A ．y ＝2sin x B ．y ＝2tan x

C ．y ＝2cos x

D ．y ＝2tan x

8．2011·郑州模拟 已知定义域为D 的函数f (x )，如果对任意x 1，x 2∈D ，存在正数K ，都有∣f (x 1)－f (x 2)∣≤K ∣x 1－x 2∣成立，那么称函数f (x )是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝

2sin ???

?x ＋π4；③f (x )＝x －1；④f (x )＝lg(2x 2＋1)，其中是“倍约束函数”的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

9．曲线y ＝5x 3在点P (1,1)处的切线方程为( )

A ．3x －5y ＋2＝0

B ．y －x ＝0

C ．5y －3x ＝0

D ．3x ＋5y －8＝0

10．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为s ＝

27t －0.45t 2(单位：米)，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．

11．如图K12－1所示，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.

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12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四

个函数：①f (x )＝x 2＋2x ；②f (x )＝sin x ＋cos x ；③f (x )＝ln x －x ；④f (x )＝－x e x 在???

?0，π2上是凸函数的是________．(填序号)

13．下列命题：

①若f (x )存在导函数，则f ′(2x )＝f (2x )′；

②若函数h (x )＝cos 4x －sin 4x ，则h ′???

?π12＝0； ③若函数g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)…(x －2010)(x －2011)，则g ′(2011)＝2010！；

④若三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则“a ＋b ＋c ＝0”是“f (x )有极值点”的充要条件．

其中假命题为________．(填序号)

14．(10分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b

(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f (x )的解析式；

(2)证明：函数y ＝f (x )的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

15．(13分)2011·六安模拟 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，

已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .

(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；

(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈x 1，x 2，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．

难点突破

16．(12分)已知抛物线C ：y ＝x 2＋4x ＋72

，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 处的法线．

(1)若C 在点M 的法线的斜率为－12

，求点M 的坐标(x 0，y 0)； (2)设P (－2，a )为C 的对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．

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课时作业(十二)

【基础热身】

1．A 解析 y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y －1＝4(x －1)，整理得4x

－y －3＝0.

2．D 解析 ∵点(2，e 2)在曲线上，

∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x |x ＝2＝e 2，

∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0.

与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，

∴S ＝12×1×e 2＝e 22

. 3．B 解析 因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图像关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B.

4．B 解析 曲线上的点P 到直线的最短距离，就是与直线y ＝x －2平行且与y ＝x 2－ln x 相切的直线上的

切点到直线y ＝x －2的距离．

过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝2x 0－1x 0

， ∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1

＝ 2. 【能力提升】

5．D 解析 ∵s (t )＝t 2＋3t ，∴s ′(t )＝2t －3t 2，∴机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为s ′(2)＝4－34＝134

. 6．B 解析 y ′＝－sin x (1－x )－(－1)cos x (1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )

2. 7．C 解析 显然点P 不在曲线y ＝2tan x 和y ＝

2tan x

上，易求得正确选项为C. 8．C 解析 由|f (x 1)－f (x 2)|≤K |x 1－x 2|，得???

?f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2≤K ，即曲线f (x )的切线的斜率的绝对值有最大值．对于①，f ′(x )＝2，符合定义；对于②，|f ′(x )|＝????2cos ????x ＋π4≤2，符合定义；对于③，f ′(x )＝1

2x －1，不存在最大值；对于④，|f ′(x )|＝????4x (2x 2

＋1)ln10≤2ln10，符合定义．故选C. 9．A 解析 y ′＝35x －25，当x ＝1时，k ＝35，由点斜式得直线方程为y －1＝35

(x －1)，即3x －5y ＋2＝0，故选A.

10．30 405 解析 s ′(t )＝27－0.9t ，由瞬时速度v (t )＝s ′(t )＝0得t ＝30，期间列车前进了s (30)

＝27×30－0.45×302＝405(米)．

11．2 解析 当x ＝5时，y ＝－x ＋8＝－5＋8＝3，因此f (5)＝3，又切线斜率为－1，即f ′(5)＝－1，故f (5)＋f ′(5)＝ …… 此处隐藏：4707字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……