电工基础实用教程(机电类) 第5章 动态电路的分析

赖旭芝

第5章 动态电路的分析

5.1 动态电路的基本概念 5.2 换路定则与初始值的确定 5.3 一阶动态电路的分析 5.3.1 零输入响应 5.3.2 零状态响应 5.3.3 全响应1

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第5章 5.1

5.1 动态电路的基本概念一. 动态电路及方程

描述含有储能元件(电容或电感)时电路的方程 为微分方程. ------动态方程含有电容或电感元件的电路, 称为动态电路. 二. 一阶电路 能用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路. 按储能元件的性质,一阶电路可分为: RC电路 R L电路2

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第5章 5.1

三. 过渡过程和换路当电路的结构或元件的参数发生变化时, 称为换路. 发生换路时, 电路将从一个状态过渡到换路后的另 一个稳态,其间的变化过程称为过渡过程.

a us S

约 定:

b

R C

t=0:表示换路的瞬间

+ uc t=0+:表示换路后的 最初瞬间t=0-:表示换路前的 最终瞬间3

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第5章 5.2

5.2 换路定则与初始值的确定电路的初始条件初始条件: 电路中求解的变量及各阶导数 在换路t=0+时的值. 独立的初始条件: 除独立电源外,电容的电压和电感的电流.

u C (0 ), iL (0 )非独立的初始条件 其他初始电压和电流.

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第5章 5.2

1. 线性电容i du dq C c dt dt

1 t uc ( t ) uc ( t 0 ) t i ( )d C0

令t 0 0 , t 0

uc ( 0 ) uc ( 0 )

1 0 0 i ( )d C

由于i(t)为有限值, 则

uc (0 ) uc (0 ) ------电容上的电压不会发生突变当uc (0 ) uc (0 ) 0时,

电容在换路的瞬间电容相当于短路5

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第5章 5.2

2. 线性电感d di L u L dt dt

1 t i L ( t ) i L ( t 0 ) t u( )d L0

令t 0 0 , t 0

1 0 i L ( 0 ) i L ( 0 ) 0 u( )d L 由于u(t)为有限值, 则

i L (0 ) i L (0 ) ------电感里的电流不会发生突变当i L (0 ) i L (0 ) 0时,

电感在换路的瞬间电感相当于开路6

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第5章 5.2

3. 其他非独立初始条件的计算

1). 对于独立电源, 取其t=0时的值.2). 将电容C用电压源值为uc(0+)的电压源代替 将电感L用电流源值为iL(0+)的电流源代替. 3). 应用KVL,KCL和VCR, 求其他元件 在t=0+时的值.

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第5章 5.2例：开关 K 打开前电路处稳态，给定R1 =1 Ω ,R2 =2 Ω ,R3 =3 Ω , 在 + L=4H ,C=5F ,US =6V ,t=0 开关 K 打开，求 iC ,iL ,i ,uC ,uL , 0 时的值。

i 图(a) R1 R2 Us C iC + uC iL L + uL 图(b)

R3

R1 i2(0 ) Us + uC(0 ) R2

R3

iL(0 )

t=0_Us iL ( 0 ) 4A ( R1 R2 ) // R3

R2 uC (0 ) U s 4V R1 R28

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第5章 5.2例：开关 K 打开前电路处稳态，给定R1 =1 Ω ,R2 =2 Ω ,R3 =3 Ω , 在 + L=4H ,C=5F ,US =6V ,t=0 开关 K 打开，求 iC ,iL ,i ,uC ,uL , 0 时的值。

i(0+) R1 Usi (0 ) C + iL(0+) uC(0+)i 图(d) R1 Us C iC + uC iL L

t=0+图(c) R3 + uL(0+)

iL (0 ) 4 AiC (0 )

U s uC (0 ) 2A R1

uC (0 ) 4V

i(0+)= iC (0+)+iL(0+)=6A

uL (0+)=US R3iL(0+)= 6V

R3

t≥0:稳定

+ C相当于开路，L相当于短路。 uL 9

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第5章 5.2

例2:下图所示电路中，已知：R1=3 , R2=6 , R3=3 , C1= 5 µ F, C2= 10 µ ,U=20V,S闭合时电 F 路已处于稳态。试求：C1、 C2 和R1上电压的初始值 和稳态值。 R1

+U

R220V

C2R3

-

C1

S t=0

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解： (1)求初始值，画出 t=0–的电路 R1 R3 U uC1(0-) = ———— R1+R2+R3 R2 C2 + 3×20 U 20V = ——— = 5V 3+6+3 - C S t=0 R3 R2 U 1 uC2 (0-) = R +R +R ———— 1 2 3 6×20 = ——— = 10V uR1(0+) 3+6+3 + i (0-) R + R2 1 uC2 (0-) i (0-) =U/(R1+R2+R3 ) =1.67A U+ uR1(0-) = i (0-) R1 = 5V + 20V R3 - uC1(0-) uC1(0+)= uC1(0-)= 5V uC2(0+)= uC2(0-)= 10V11 t=0–的电路

第5章 5.2

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第5章 5.2

画出t=0+的电路,用结点电压法求结点电压uab (0+)

U/R1+ uC1(0+)/R2 + uC2(0+)/R3 uab (0+)= __________________________ = 13V 1/R1 + 1/R2 + 1/R3

uR1(0+) + –aU –

uR1(0+)=U–uab (0+)=7V 可见 uR1(0+) uR1(0–)C2 C1

+

R1 R20V

2

+ uC2(0+)– R3

uC1(0+)

+–

bt=0+的电路

因此，求初始值时,只 需计算t=0–时的iL(0– ) 和uC(0–),因为它们不 能跃变，即为初始值， 而t=0– 时的其余电压和 电流都与初始值无关， 不必去求。12

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第5章 5.3

§ 5-3-1 一阶电路的零输入响应t=0 S+

uR bR

a

U

i

C

uC

零输入响应 是指无电源激励， 输入信号为零，由电容元件 的初始状态uC(0+) 所产生的 响应。分析RC电路的零输入 响应，实际上就是分析它的 放电过程。

一. RC放电电路上图中，若开关S合于a,电容上电压充电到U0时， 将S由a合向b, 即 uC(0–)= U0 , 根据KVL

uR + uC=0 d uC RC —— + uC =0dt13

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S t=0

uRbR

第5章 5.3 d uC RC —— + uC =0 dt 上式的通解为指数函数，即

a

UU0

+

uCo

i

ucC

uC = Ae pt

由特征方程 RCp +1=0 得 p = –1/RC 通解 uC = Ae –t /RC 确定积分常数，由换路定则 uC(0+)=uC(0–)= U0 ,得 A= U0 所以 uC = U0e –t /RC

t

i

U0 R –U0

uR变化曲线

uR = – uC = –U0e –t /RC U0 –t / RC i = – –— eR

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第5章 5.3

在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由 初始值按同一指数规律衰减到零。

时间常数

= RCS F

称为RC电路的时间常数

单位

uC = U0 e–t /

uC( ) = 0.368 U0 3 4 5 6

时间常数 等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所 需的时间。

t

–1

2

e -t/ euC

e

–2

e

–3

e

–4

e

–5

e15

–6

U0 0.368 0.135

0.05

0.018

0.007

0.002

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uc电压uC衰减的快 慢决定于电路的时 间常数 ,时间常数 越大，uC衰减(电容 器放电)越慢。

第5章 5.3

U0

3 > 2 > 1

0.368 U0 o

1 2 3

t

从理论上讲,电路只有经过 t = 的

时间才能达到稳定。 由上表可以看出 t = 5 时，uC已衰减到 0.7% U0 ,所以， 工程上通常认为在t ≥ (4~5) 以后，暂态过程已经结束。16