第二十三届希望杯”全国数学邀请赛

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛

初一

2012年4月8日

第2试

上午9：00至11：00 得分

一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表

示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。 1. 下面四个命题：

（1） 若两个角是同旁内角，则这两个角互补。 （2） 若两个角互补，则这两个角是同旁内角。 （3） 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补。 （4） 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角。 其中错误的命题的个数是（ ） （A）1

（B）2

（C）3

（D）4

2.若两位自然数ab的质数，且交换数字后的两位数ba也是质数，则称ab为绝对质数，于是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数是（ ） （A）1

（B）3

（C）7

（D）9

3.如图1，将边长为4cm的等边 ABC沿边BC向右平移2cm得

DEF，DE与AC交于点G，则S四边形ABFD:S ABC （ ）

（A）3：2

4.有理数a,b,c在数轴上的位置如图2所示，O为原点，则代数式

（B）2：1

（C）5：2

（D）3：1

a b b a a c c （ ）

（A） 3a 2c （C）a 2b

（B） a ab 2c （D）3a

5.The perimeter of a triangle is 18 ,while each side is an integer, if the longest side is not a prime number, then the number of such triangle is ( ) （A）4

（B）5

（C）6

（D）7

（英汉小词典：perimeter of a triangle 三角形的周长；prime number 质数）

6.77可以表示成n(n 2)个连续自然数的和，则n的值 的个数是（ ） （A）1

（B）2

（C）3

（D）4

7.如图3， ABC中， BCA 90，点E在边CA上，点D和F在边BA上，若BC=CD=DE=EF=FA，则 A （ ） （A）20

（B）18

（C）15

（D）12

8.已知x,y是非负整数，且使（A）1

（B）2

x 14 y

是整数，那么这样的数对(x,y)有（ ）个。 23

（D）2012

（C）3

9.身高两两不同的30个学生面向老师站成一排，其中恰有11个学生高于自己左侧相邻的同学，那么高于自己右侧相邻同学的学生有（ ）人。 （A）11

（B）12

5

（C）18

5

（D）19

10.若x+y=3,xy=-1,则x y （ ） （A）33 （B）231

（C）123

（D）312

二、填空题（每小题4分，共40分）

11.计算：2012 2011 2013 2012 2011 2013 2011 12.已知 ABC中，AB=2，BC=9，若AC的长是奇数，则AC=

13.若自然数x除以3余2，除以4余3，除以5余4，则x除以15所得余数是

3

2

14.If 4x2n 3y2m and 7xm 2y6n are similar terms, then

(m n) mn=

15.如图4，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在AD上，点F、G在BC上，并且AE=ED=BF=FG=GC，以A、B、C、D、E、F、G

这7个点中的三个顶点的三角形中面积最小的三角形有 个；面积最大的三角形有 个。

16.用黑、白两种颜色的1 1正方形瓷砖，按图5所示的方式铺地板；（图（1）中有3 5块瓷砖，以后各图都比前前一个加铺2 5块瓷砖），则有2014块黑色瓷砖的是图5中的第 个图。

17.图6是用若干个同样的小正方体拼成的立体的俯视图，若此立体最

高有三层，则此立体最少有 个小正方体，最多有 个小正方体。

18.1900年以后出生的人，他出生年份的最后两个数字组成的两位数（如果末两位数字为

00或01，则看成两位数00或01，其余类推），加上这个人今年的年龄数，所得的结果是 或 。（注：今年的年龄数=2012-出生年份）

19.已知正n边形A1A2A3 An 1An的面积是60，若四边形A1A2AkAk 1是一个面积为20的矩形，则这个正n边形的一个内角是 度。 20.P(x)

11514131

x x x x，则[P(2) P( 2)]

352330

三、解答题

每题都要写出推算过程 21.(本题满分10分)

已知a,b,c都是整数，如果对任意整数x，代数式ax bx c的值都能被3整除。 证明：abc可被27整除。

22.（本题满分15分）

某公司以每吨500元的价格收购了100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是1000元。该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：

2

受市场影响，该公司必须在10开内将这批药材加工完毕，现有3种方案：

（A） 全部粗加工：

（B） 尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售；

（C） 部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成。 问：哪个方案获得的利润最大？是多少？

23.（本题满分15分）

有一系列数，前两个数是1，2，从第三个数起，每个数都等于它前面相邻的两个数的和的个位数字，请回答以下问题：

（1） 在这列数中能否依次出现相邻的2，0，1，2这四个数？说明理由； （2） 这列数中的第2012个数字是什么？说明理由。 一、选择题

二、填空题

三、解答题

21.设P(x) ax bx c，则P(0) c， 因为对任意整数x，代数式的值都能被3整除，

2

所以3|c。

这里，3|c的意义是：c被3整除，或3整除c。 又因为P(1) a b c,P( 1) a b c， 所以3|a b c,3|a b c 从而3|[P(1) P( 1)]， 即3|2b 由于（3，2）=1 所以3|b

又因为3|[P(1) P( 1)] 所以3|(2a 2c) 由于（3，2）=1 所以3|(a c) 上面已经证明了3|c 所以3|a 因为3|a,3|b,3|c 所以27|abc

22.因为每吨药材的收购价是500元，所以100吨药材的收购费用是500×100=50000（元） （1）若100吨药材全部被粗加工，则所需加工的时间是100÷14=可获得的利润是5000×100×80%-50000=350000（元）

（2）若尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售，则10天可精加工的药材量是

6×10=60（吨）

于是精加工部分可获得

50

10（天） 7

11000×60×60%=396000（元）

剩余100-60=40（吨）的药材直接在市场上销售，1000×40=40000（元） 两项合计可得利润

396000+40000-50000=386000（元）

（3） 若部分精加工，部分精加工，且恰好10天完成，则不妨设粗加工x天，则

14x+6×(10-x)=100

解得x=5

于是这种方案共可获得利润

14×5×0.8×5000+6×5×0.6×11000-50000=428000(元)

综上，第三个方案获得的利润最大，是428000元。

23.（1）否。

假设能出现，则因为2+0=2，而2不等于1，于是矛盾，故不会有2，0，1，2连续出现的情形。

（2）注意到数串出现的只是0到9的数字，其中5个奇数，5个偶数，所以不同的（奇，偶）对共有5×5=25对，因此，根据抽屉原理，（奇，偶）对在这无穷数串中必定会重复出现，此后成周期循环，我们通过实验找规律

发现，第61个数等于第1个数，第62个数等于第2个数，以下各数以60为周期循环出现。 因为2012÷60=33……32，所以这列数中的第2012个数字等于第32个数字，即8.