2逻辑代数的基本运算、公式和定理

逻辑代数的基本运算、 第2讲 逻辑代数的基本运算、公式和定理 第二章 逻辑代数基础 §2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 概述 逻辑代数中的三种基本运算 逻辑代数的基本公式和常用公式 逻辑代数的基本定理 逻辑函数及其表示方法 逻辑函数的化简方法 具有无关项的逻辑函数及其化简(1)

§2.1 概述在二值逻辑中， 在二值逻辑中，逻辑代数中的逻辑变量取 值只有两个： (逻辑1)、 )、0(逻辑0)。 值只有两个：1(逻辑 )、 (逻辑 )。 0和1表示两个对立的逻辑状态。 和 表示两个对立的逻辑状态 表示两个对立的逻辑状态。

(2)

§2.2

逻辑代数中的三种基本运算

基本逻辑运算： 基本逻辑运算：与 ( and )、或 (or ) 、 非 ( not )。 或 一、“与”逻辑 与逻辑：决定事件发生的各条件中， 与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都 具备，事件才会发生(成立)。 具备，事件才会发生(成立)。 规定: 规定 A E B C Y 开关合为逻辑“ 开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“ 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“ 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“ 灯灭为逻辑“0”(3)

A E 真值表 A B 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1

B

C Y

逻辑式： 逻辑式：Y=A B C 逻辑乘法 逻辑与) (逻辑与) 逻辑符号： 逻辑符号： A B C & Y

C 0 1 0 1 0 1 0 1

Y 0 0 0 0 0 0 0 1

与逻辑运算规则： 与逻辑运算规则： 0 0=0 1 0=0 0 1=0 1 1=1(4)

真值表特点: 真值表特点 任0 则0, 全1则1 则

二、 “或”逻辑或逻辑：决定事件发生的各条件中， 或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个 以上的条件具备，事件就会发生(成立)。 以上的条件具备，事件就会发生(成立)。 规定: 规定 开关合为逻辑“ 开关合为逻辑“1” Y 开关断为逻辑“ 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“ 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“ 灯灭为逻辑“0”

A B C E

(5)

A B C E 真值表 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 1 1 1 1

真值表特点： 真值表特点： 任1 则1, 全0则0。 则 。 Y 逻辑式：Y=A+B+C 逻辑式： 逻辑加法 (逻辑或 逻辑或) 逻辑或 逻辑符号： 逻辑符号： A ≥1 B C 或逻辑运算规则: 或逻辑运算规则 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1(6)

Y

三、 “非”逻辑“非”逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件 非 逻辑：决定事件发生的条件只有一个， 不具备时事件发生(成立), ),条件具备 不具备时事件发生(成立),条件具备 时事件不发生。 时事件不发生。

R E A

规定: 规定 开关合为逻辑“ 开关合为逻辑“1”

Y

开关断为逻辑“ 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“ 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“ 灯灭为逻辑

“0”

(7)

R E真值表 A 0 1 Y 1 0

逻辑式： 逻辑式： Y = A

A

Y

逻辑非 (逻辑反 逻辑反) 逻辑反 逻辑符号： 逻辑符号： A 运算规则： 运算规则：1

Y

真值表特点: 真值表特点 1则0, 0则1。 则 则 。

1 = 0 , 0 =1(8)

四、几种常用的复合逻辑运算“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑 与 运算，任何其它的复杂逻辑运算都可以用与、 运算，任何其它的复杂逻辑运算都可以用与、 或、非的组合来实现。 非的组合来实现。 几种常用的逻辑运算如下表： 几种常用的逻辑运算如下表：

与非： 与非：条件A、B、C都具 、 、 都具 备，则Y 不发 生。

Y = A B C

A B C

&

Y

(9)

或非： 或非：条件A、B、C任一 、 、 任一 具备， 具备，则Y 不 发生。 发生。

Y = A+ B +C

A B C

≥1

Y

异或：条件A、 异或：条件 、B有一个具备， B有一个具备， 有一个具备 另一个不具备则 Y 发生。 发生。

Y = A B + AB = A⊕ B

A B C A B C

=1

Y

同或： 同或：条件A、B相同，则 、 相同 相同， Y 发生。 发生。

Y = AB + A B =A B

=

Y

(10)

图2.2.3 复合逻辑的图形符号和运算符号

(11)

与非逻辑真值表 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 1 1 1 1 1 1 0

或非逻辑真值表 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 0

异或逻辑真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 0

同或逻辑真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 1 0 0 1

(12)

§2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式一、基本定律 加运算规则: 运算规则

0+0=0 ,0+1=1 ,1+0=1,1+1=1 ,

A+ 0 = A, A+1=1 A+ A = A, A+ A =1 ,乘运算规则: 运算规则

0 0=0非运算规则: 运算规则

0 1=01= 0

1 0=00=1

1 1=1

A 0 = 0, A 1= A, A A = A, A A = 0A= A =

(13)

二、交换律A+B=B+A A B=B A

三、结合律A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A (B C)=(A B) C

四、分配律A(B+C)=A B+A C A+B C=(A+B)(A+C)

普通代数 不适用! 不适用(14)

求证: 分配律第2条 求证 (分配律第 条) A+BC=(A+B)(A+C) 证明: 证明 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC ; 分配律 ; 结合律 , AA=A

=A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC =左边 左边 ; A 1=A

(15)

摩根定理(反演律 反演律) 五、德 摩根定理 反演律) (De Morgan)A B = A+ B A+ B = A B

(1)

(2)

证明： 证明： 真值表法、 真值表法、 穷举法

推广到多变量： 推广到多变量：

A B C = A + B + C

A + B + C = A B C

说明：两个(或两个以上)变量的与非(或非) 说明：两个(或两个以上)变量的与非(或非) 与非 运算等于两个(或两个以上)变量的非或 非或( 运算等于两个(或两个以上)变量的非或(非 运算。 与)运算。(16)