全国初中数学联合数学竞赛试题(2002年)

2002年全国初中数学联合竞赛试卷

（2002年4月21日8：30—10：30）

一、选择题（本题42分，每小题7分）

1、已知a=2-1，b=22-6，c=-2，那么a，b，c的大小关系是（ ）

(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b

2、若m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，则m3-2mn+n3的值为（ ）

(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2

3、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则（ ）

(A)M>0 (B)M＝0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0

4、直角三角形ＡBC的面积为120，且∠BAC=90º，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB

于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（ ）

(A)18 (B)20 (C)22 (D)24

5、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另

一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为（ ）

(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3

6、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k完全

平方数的和，那么k的最小值为（ ）

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空题（每小题7分，共28分）

1、已知a<0，ab<0，化简，1 |a b 3| |b a |

2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为

3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8

元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，9元的商品有 件。

4、设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）

共有 对。

三、（本题满分70分）

1、（本题满分20分）

a b 8 已知：a ，b，c三数满足方程组 ，试求方程bx2+cx-a=0的根。 2 ab c 8c 48

2、（本题满分25分）

如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC的外接圆上。

C B P

3、（本题满分25分）

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

参考答案

一、BDCBCC

二、1、32 3 2、2( 6)r 3、12 4、27 15

三、1、由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2-82c+48=0的两根

△=-4(c-82)2≥0，c=42 a=b=4

所以原方程为 x2+2x-1=0

x1= 2

2 6，x2= 22

2、连结BP'、P'R、P'C、P'P

（1）证四边形APPQ为平行四边形

（2）证点A、R、Q、P'共圆

（3）证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形

（4）证∠P'BA=∠ACP'，原题得证

1，原方程无整数根 2

r 2r 1 （2）当r≠0时，x1+x2= x1x2= rr3、（1）若r=0，x=

消去r得：4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7 由x1、x2是整数得：r= 1，r=1 3