2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征同步学案 新人教A版必

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

自学导引

1.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标 准差. 2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取 基本的数字特征(如平均数 标准差),并做出合理的解释. 3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征. 4.形成对数据处理过程进行初步评价的意识.

课前热身 一、众数、中位数、平均数

1.众数：一组数据中重复出现次数

的数称为这组数的众数.

2.中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位 置的那个数称为这组数据的中位数. 当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的 的 那个数. 当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两 个数的 ____. 3.平均数:如果有n个数 x1 , x 2 , x 3 , x n 叫这n个数的平均数. ,那么 _____

二、标准差、方差 1.数据的离散程度可用极差、 、 来描述. 样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 一般地，设样本的数据为 x1 , x 2 , x 3 , x n ,样本的平均数为 x 则定义

s 2

__________________,

s

2

表示方差.

2.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本 方差的算术平方根S= 漏写单位.3.标 准 差 s 1 n [( x1 x ) ( x 2 x ) ( x n x ) ]2 2 2

______ ,S表示样本标准差.不要

.其 中 x n 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , n 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , x 是 __________________ . 样本平均数

样本数据

样本容量

三、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢？

中点. 1.众数：最高矩形的_______面积 2.中位数：左右两边直方图的______相等.

3.平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边 中点 ________的横坐标之和. 4..在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等 应该________.

集中趋势的量 5..平均数 众数 中位数描述数据的____________,方差 极波动情况 差和标准差描述数据的_________,也可以说方差 标准差和

总体波动大小 极差反映_______________.

名师讲解

1.众数 中位数 平均数 众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据; 中位数:样本数据中,累积频率为0.5时所对应的样本数据值 (累积频率:样本数据小于某一数值的频率叫做该数值点的累 积频率);或者定义为:将一组数据按大小顺序排列,把处在最 中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫这组数据的中 位数. 平均数:样本数据的算术平均数,即 x 1 ( x1 x 2 x n ).n

(1)众数 中位数 平均数与频率分布直方图的关系 众数在样本

数据的频率分布直方图中,就是最高矩形的中点 的横坐标.在样本中,有50%的个体大于或等于中位数.因此,在

频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值.由于样本数据的频率分布直方图, 只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始 的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往 往与样本的实际中位数值不一致.平均数显然是频率分布直 方图的“重心”.在频率分布直方图中,平均数是直方图的平 衡

点.

(2)三种数字特征的优缺点 ①众数体现了样本数据的最大集中点,但显然它对其他数据 信息的忽视使得它无法客观地反映总体特征. ②中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受少数几个极 端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感 有时也会成为缺点.

③由于平均数与每一个样本的数据有关,所以任何一个样本 数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数 中位数都不具 备的性质.也正因为这个原因,与众数 中位数比较起来,平均 数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.但平均数受 数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性 降低.

2.标 准 差 假 设 样 本 数 据 是 x1, x 2 , , x n , x 表 示 这 组 数 据 的 平 均 数 , x i 到 x 的 距 离 是 | x i x | i 1, 2, , n , 于 是 样 本 数 据 到 平 均 数 的 “平 均 距 离 ”是 : s 1 n [| x1 x | | x 2 x | | x n x |]

由 于 上 式 含 绝 对 值 , 运 算 不 太 方 便 ,因 此 , 通 常 改 为 如 下 公 式 来 计算标准差 :s 1 n [( x1 x ) ( x 2 x ) ( x n x ) ]2 2 2 2

从 数 学 的 角 度 考 虑,有 时 用 标 准 差 的 平 方 s — — 方 差 来 代 替 标 准 差, 作为测量样本数据分散程度的工具 :s 2

1 n

[( x1 x ) ( x 2 x ) ( x n x ) ] .2 2 2

3.规律小结 (1)标准差 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准 差 方差越大,数据的离散程度越大;标准差 方差越小,数据的 离散程度越小.标准差的大小不会超过极差. (2)标准差 方差的取值范围:[0,+∞). 标准差 方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅 度,数据没有离散性.

(3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏 差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程 度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.

典例剖析

题型一 众数 中位数 平均数的应用 例1:某工厂人员及工资构成如下: 人员 周工 资 经理 2 200 管理人员 高级技 工 250 220 工人 200 学徒 100 合计

人数合计

12 200

61 500

51 100

102 000

1100

236 900