数理统计07假设检验2

§2 正态总体的检验1、 总体方差已知时，总体均值的检验2 x , x , , x 设 1 2 n 是来自正态总体 N ( , )

的简单样本，方差 2 已知， 考虑检验问题

H0 : 0 ,

H1 : 0

(双边检验)

x 0 检验统计量 U ~ N (0,1) n W {| U | u 拒绝域 给定显著性水平 ,

1

2

}

单边假设检验

H0 : 0 , H0 : 0 , H0 : 0 , H0 : 0 ,

H1 : 0 H1 : 0 H1 : 0 H1 : 0

(1) (2) (3) (4)

(1)与(2)同为右边检验、(3)与(4)同为左边检验 右边检验和左边检验的拒绝域分别为

W1 {U u1 }

W3 {U u1 }

2、总体方差未知时，总体均值的检验H0 : 0 ,检验统计量

H1 : 0

x 0 ~ t (n 1) T S n

给定显著性水平 下，拒绝域为

W {| T | t

1

2

( n 1)}

给定显著性水平 下，右边检验拒绝域为

H0 : 0 ,

H1 : 0

W {T t1 (n 1)}给定显著性水平 下，左边检验拒绝域为

H0 : 0 ,

H1 : 0

W {T t1 ( n 1)}

3、总体方差的检验 设 x1 , x2 , , xn 是来自正态总体 N ( , 2 )的简单样本， 考虑检验问题当 未知时，检验统计量为

H0 : ,2 2 0

H1 : 22

2 0

2

( n 1) S

2

2 0

~ (n 1)

2 2 2 拒绝域 W { 2 ( n 1) or ( n 1)} 2 1 2

当 已知时，检验统计量为

2

n

2

2 0

n 1 2 2 2 ( xi ) ~ (n) n i 1 2 2 2 2

拒绝域 W { ( n) or 1 ( n)}2 2

类似的也有相应形式单侧检验，在此就不列出。

4、两个正态总体均值的检验2 N ( , 设 x1 , x2 , , xn 是来自正态总体 1 1 )1

的样本容量为 n1 简单样本， y1 , y2 , , yn 是来2

自正态总体 N ( 2 , 22 ) 的样本容量为 n2的简单

样本，且两样本独立。 考虑检验问题

H0 : 1 2 , H1 : 1 2

(1) , 已知时，总体均值的检验2 1 2 2

H 0 成立时， U 检验统计量

x y

2 1

n1

2 2

~ N (0,1)

n22

给定显著性水平 ,拒绝域 W {| U | u1 }

(2) , 未知但相等，总体均值的检验2 1 2 2

当 H 0 成立时，检验统计量为

x y T ~ t (n1 n2 2) 1 1 SW n1 n2拒绝域 W {| T | t1

2

( n1 n2 2)}2 y

其中 S 2 W

( n1 1) S ( n2 1) S2 x

n1 n2 2

5、两个正态总体方差的检验考虑检验问题

H0 : , H1 : 当 1 , 2 未知时，当 H 0 成立时，检验统计量为2 1 2 2 2 1 2 2

S F S拒绝域

2 x 2 y

~ F (n1 1, n2

1)

W { F F ( n1 1, n2 1) 或 F F2

1

2

( n1 1, n2 1)}

当 1 , 2 已知时，当 H 0 成立时，检验统计量为

F

2 x 2 y

~ F (n1 , n2 )( n1 , n2 )}

拒绝域

W { F F ( n1 , n2 ) or F F2

1

2

类似的也有相应形式单侧检验，在此就不列出。

正态总体的参数假设检验小结1、正态总体的均值检验 当方差已知时为 U 检验 当方差未知时为 T 检验 2、正态总体的方差检验 单总体时为 卡方 检验 双总体时为 F 检验 正态总体的参数检验参见P93,表4.1

§3 非正态总体大样本参数检验非正态总体的检验： 依据中心极限定理， 转化为正态总体N(0, 1)的检验问题 一般要求样本容量超过50。

§4 非参数假设检验考虑

H 0:F ( x ) F0 ( x ),x x 1 xk x x 1 k

0, k 经验分布函数 Fn ( x ) , n 1, 格列纹科定理

x x

n

P lim su p Fn* ( x ) F ( x ) 0 1 n x

1、柯尔莫哥洛夫检验 考虑分布检验问题

H 0:F ( x ) F0 ( x );H1:F ( x ) F0 ( x ) 检验的步骤如下：(1) 计算统计量 Dn sup | Fn ( x ) F0 ( x ) |

的值。 (2) 查表(柯尔莫哥洛夫表)获得临界值 Dn , 。 (3) 若Dn Dn , ,则拒绝假设H 0 , 否则接受 H 0。

x

2、斯米尔诺夫检验 为比较两个总体分布是否相同，考虑检 验问题

H 0:F ( x ) G( x );H1:F ( x ) G( x )设x1 , , xn 和y1 , , yn 是分别来自两个总体1 2

的样本， 计算出经验分布函数 F ( x )和G ( x ), 并计算统计量Dn sup | F ( x ) G ( x ) | x n1 n2

n1

n2