《1.3.1函数的单调性》公开课

必修一函数的单调性

主讲教师：赵意扬 面授教师：朱灿斌湖南省长沙市一中卫星远程学校

必修一函数的单调性

一、 新课引入(1) 由于某种原因， 2008 年北京奥运会开幕式时 间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日，做出这 个决定的主要原因：北京的天气到 8 月中旬，平 均气温、 平均降雨量和平均降雨天数等均开始下 降，比较适宜大型国际体育赛事. 下图是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小时内 气温随时间变 化的曲线图.

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一、 新课引入

思考：观察图形，从左至右，随着自变量的变化， 函数值的变化情况是怎样的？

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二、归纳探索思考一：分别作出函数 y x和y x , 的图象，并 且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？2

y5 4 3 2 1 3 2 1 o 1 2 3 x 5 4 3 2 1

y

3 2 1 o 1 2

x

思考二：能不能根据自己的理解说说什么是增函 数、减函数?湖南省长沙市一中卫星远程学校

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二、归纳探索

观察二次函数的图像，并且分析图像在 X ∈[0,+∞)变化情况。

y

y=x2

发现： 当x在区间[0,+∞) 上取值时，随着x的 增大，相应的y值也 随着增大.湖南省长沙市一中卫星远程学校

O

x

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二、归纳探索

增函数定义： y y f ( x) 设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内 f(x2) 某个区间上的任意两个 f(x1) 自变量的值x1,x2, o x1 x2 x 当 x1 < x2 时 , 都有f(x1)<f( x2), 那么就说f(x)在这个区 x不断增大，y也不 间上是增函数; 断增大湖南省长沙市一中卫星远程学校

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二、归纳探索

观察二次函数的图像，并且分析图像在 X ∈(- ∞ ,0)变化情况.

y

y=x2

发现：

O

当x在区间(-∞,0) 上取值时，随着x的 增大，相应的y值也 x 随着减小，湖南省长沙市一中卫星远程学校

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二、归纳探索

一般地， 设函数f(x)的定义域为I: f( x1) 如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个 f(x2) 自变量的值x1,x2, x1 x2 O x 当 x1 < x2时 , 都有f(x1)>f( x2), x不断增大，y不断减小 那么就说f(x)在这个区间 上是减函数;湖南省长沙市一中卫星远程学校

y

y=f( x)

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二、归纳探索 y

y=f(x)

0

a

b

如果函数y=f(x)在 某个区间是增函数 或减函数,那么就 说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格 的)单调性,这一区 x 间叫做y=f(x)的单 调区间.

在单调区间上增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的.湖南省长沙市一中卫星远程学校

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四、巩固概念

判断题： 1 ① 已知f ( x ) ,因为f ( 1) f ( 2),所以 x f ( x )是增函数； ② 若函数f ( x )满足f ( 2) f ( 3),则函数f ( x )在 区间[2, 3]上是增函数； ③ 若函数f ( x )在区间 (1, 2]和( 2, 3)上均为增函数， 则函数f ( x )在区间(1

, 3)上为增函数. 1 ④ 因为函数f ( x ) 在区间( , 0)和(0, )上 x 1 都是减函数，所以 f ( x ) 在( , 0) x (0, )上是减函数. 湖南省长沙市一中卫星远程学校

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五、例题讲解例 1.右图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象，根据图象说出 y=f(x)的 单调区间，以及在每一单调区间上， y=f(x) 是增函数还是减函数.

[-5,-2)

y [-2,1)

[1,3)f(x)

[3,5]13

-5

-2

-1

o

5

x

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五、例题讲解例 2.证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数.

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五、例题讲解

变式1:判断函数f(x)=-3x+2在R上是增函数 还是减函数？并证明

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五、例题讲解

1 例 3.证明函数 f(x)= 在(0,1]上是减函数. x

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判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤:1. 设x1, x2∈给定的区间，且x1<x2;

2. 计算f(x1)-f(x2) 至最简;3. 判断上述差的符号; 4. 下结论 (若差<0,则为增函数; 若差>0,则为减函数).

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六、课堂总结1)两个定义：增函数、减函数； 2)两种方法： 判断函数单调性的方法有： 图象法、 定义法.

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