清华数学实验第五章概率统计应用实验

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概率统计应用实验 随机数与统计直方图 相遇问题及其统计试验 贝努里试验与二项分布 正态随机数及应用 计算面积的蒙特卡罗方法

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均匀分布随机数

O

1

MATLAB产生均匀随机数方法: rand(m,n) 产生m×n个 0,1 之间均匀随机数.随机数等可能落入区 间[0,1]内长度相等子区间中。 引例1. 观察12个1—4之间整型随机数情况 1+ fix(4*rand(1,12)) ans= 4 1 3 2 4 4 2 1 4 2 引例2. 观察1000个随机点分布情况 P=rand(2,1000); x=P(1,:);y=P(2,:); plot(x,y,'b.')2/18

3

4

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统计直方图直方图绘图命令: hist(data,n)

2000 1000 0

1 2 3 4 5 其中,data是需要处理的数据块, 绘图原理:利用data中最小数和最大数构成一区间,将 区间等分为n个小区间，统计落入每个小区间的数据 量。以数据量为高度绘小矩形，形成直方图。如果省 略参数n,MATLAB将n的默认值取为10。 直方图也可以用于统计计算

N=hist(data,n) 计算结果N是n个数的一维数组，分别表示data中各个 小区间的数据量。这种方式只计算而不绘图。

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例5.1 统计10000个均匀随机数在五 个小区间的分布 。 data=rand(10000,1); hist(data,5) N5=hist(data,5)N5 = 1969 2010 2018 1999 1 条形图是根据数据绘小矩形或 小柱体。使用格式: bar(data) 0.5 或bar3(data) 0 x=linspace(0,pi,10); y=sin(x); bar(y,'r') bar3(y,'r')

2500 2000 1500 1000 500 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2004

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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例5.2 相遇问题: 甲、乙两船在24小时内独立地随机到 达码头. 设两船到达码头时刻分别为 X 和 Y均匀分布随机变量 X ~ U(0 , 24), Y ~ U(0 , 24) 如果甲船到达码头后停留2小时,乙船到达码头后停留 1小时.问两船相遇的概率有多大？ YP {( X , Y ) D } 24 S 1 S 22

24

24

2

S12

S 1 0 . 5 22

2

S 2 0 . 5 23

S2O 24

X

D {( x , y ) | x 1 y x 2 , 0 x , y 24 }5/18

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相遇问题的统计试验function F=shipmeet(N) if nargin==0,N=2000;end P=24*rand(2,N); X=P(1,:);Y= P(2,:); I=find(X<=Y&Y<=X+2); J=find(Y<=X&X<=Y+1); F=(length(I)+length(J))/N plot(X,Y,'b.') ,hold on

D 1 {( x , y ) | x y & y x 2 } D 2 {( x , y ) | y x & x y 1 }

F=

0.11852

S 1 0 . 5 22

2

S 2 0 . 5 23

2

P {( X , Y ) D }

24 S 1 S 2 242

= 0.12076/18

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贝努里概型与贝努里试验

X P

0 0.5

1 0.5Bernoulli,1654--1705

例5.3设事件A出现的概率为p=0.5。模 拟100次贝努里试验，统计实验结果中 “0”出现的次数和“1”出现的次数。

data=fix(2*rand(100,1));N=hist(data,2) 实验序号 0出现次数 1出现次数 1 50 50 2 52 48 3 52 48 4 61 39 5 54 467/18

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六层Galton板(六重贝努里试验)例5.4 小球自顶部落下,在每 一层遭遇隔板,以1/2的概率 向右(左)下落,底部六个隔 板,形成七个槽.模拟100个小 ① ② ③

④ ⑤ ⑥ 球依次落下,统计Galton板 底部各槽中小球数 X=fix(2*rand(6,100)); Y=sum(X)+1; N=hist(Y,7) %统计 bar(N) N= 4 6 22 28 29 9 2

⑦

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记

Y = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6Y ~ B( n, p )n k

Y 服从n=6的二项分布k 6 k

p=0.5

k =0,1,2,…,6 二项分布概率计算函数: binopdf(x,n,p) x 是n重贝努里试验中事件A出现的次数. %计算Galton试验板分布律 n=6;x=0:n; Y=binopdf(x,n,0.5) bar(x,Y) ans =0.0156 0.0938 0.23440.3 0.2 0.1 0

P {Y k } C p ( 1 p )

0

1

2

3

4

5

6

0.3125

0.2344

0.0938

0.01569/18

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计算二项分布随机变量X=k的命令使用格式为Pk=binopdf(k,n,p) 其中，k是随机变量取值，n是贝努里试验的重数，p 为n重贝努里试验中事件A发生的概率。 对于二项分布随机变量X,计算累加概率P{X ≤ k}的 MATLAB命令使用格式为

P = binocdf(k,n,p)MATLAB的二项分布随机数发生器使用格式为 R= binornd(n,p,L,M) 产生 L×M 个二项分布随机数。

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例5.5 有一千名以上的小学生参加保险公司的平安保 险,参加保险的小学生每人一年交保险费50元.若一年 内出现意外事故,保险公司赔付一万元。统计表明， 每年一千名小学生中平均有两名学生出事故。保险公 司赔本的概率有多大？利用二项分布随机数进行模拟， 分析：小学生出意外事故的概率为p=0.002,设随机变 量X为一年内出事故的小学生人数。X服从二项分布 B(n,p),其中n为投保人数。由于对出事故的小学生， 保险公司一次性赔付一万元，所以每年保险公司赔付 费为：X(万元)。一年中保险公司赔付费不超过总 的保险收费则会获利，如果赔付费超过总的保险收费 将会赔本。每年保险公司所获利润为总保险收费减去 总的赔付费。11/18

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function [P1,profits]=prob1(N) p=0.002; join=50;pay=10000; all=join*N; X1=fix(all/pay); %赔付最大承受人数 P1=1-binocdf(X1,N,p); %赔偿概率 puples=binornd(N,p,1,8); %八年出事故人数模拟 Pays=pay*puples; %八年赔付金模拟 %八年利润模拟 profits=all-Pays; [P,p]=prob1(1500)

P = 0.011855000 65000 15000 45000 45000 5000 35000 5500012/18

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正态分布变量X的数学期望 ,方差 2 ,密度函数f (x) 1 2 exp[ ( x ) / 2 )2 2

x ( , )

计算命令：y = normpdf(x,mu,sigma) 累积分布函数，即积分上限函数P{X x} 1 2

x

exp[ ( t ) / 2 ]dt2 2

计算命令 ：p = normcdf(x,mu,sigma) 逆累积分布函数值，即已知概率值p,求z 使得P{ X z} 1 2

z

exp[ ( t ) / 2 ]dt p2 2

计算命令 ：z = norminv(p,mu,sigma)13/18

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产生正态分布随机数的函数为 randn(),使用格式为 R=randn(m,n)

3000 2000 1000 0 -4

-2

0

2

4

产生m×n阶矩阵R,矩阵中元素都是区间(– 3,3)内

的 正态随机数。 例5.6 创建10000个正态随机数，将区间[–3,3]分为十 三个小区间，分别绘频数和频率直方图。 data=randn(10000,1); 0.3 N=hist(data,13); 0.2 figure(1),bar([-3:0.5:3],N,'r') 0.1 figure(2),M=N/10000; 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 bar([-3:0.5:3],M,'r')14/18

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例5.8 某城市中99%男子身高介于1.52米到1.88米，如 果男子上公交车时头与车门相碰的概率小于5%,公交 车门的高度应该是多少？ 分析：设身高为正态分布随机变量X,1.70为X的数学 期望，方差 …… 此处隐藏：2652字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……