求二面角方法——1定义法

之欧阳学文创作

二面角——1定义法

欧阳学文

二面角

二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为，则，多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面

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角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分析如下：

定义法：

利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性

1.如图，四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A －BD －

C 、B －AC －

D 的大小

解析：(1)取BD 的中

点O ，连AO 、OC

A

B C

D A B C D O E

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在ΔABD中，∵AB＝AD ＝，BD ＝2，

∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，

同理OC⊥BD

∴∠AOC是二面角A－BD－C的平面角。

又AO＝OC＝1，AC＝，

∴∠AOC＝90°

即二面角A－BD－C为直二面角。

(2)取AC的中点E，连BE、DE

∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，

DE⊥AC，

∴∠BED就是二面角的平面角

在ΔBDE中，BE＝DE＝，

由余弦定理，得

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之欧阳学文创作 2.在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是正方

形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝，求二面角B －PC －D 的大小。 解： ，

过B 作BH⊥PC 于H ，连结

故∠BHD 为二面角B －PC －D 的平面角。 因PB ＝

,BC ＝,PC ＝, PB·BC＝

＝PC·BH，则BH ＝

＝DH P B A C H

P

B A C

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之欧阳学文创作 又BD

＝，在△BHD 中由余弦定理，得： cos∠BHD＝

又0＜∠BHD＜π，则∠BHD＝

，二面角

B －P

C －

D 的大小是。 3.三棱锥A －BCD 中，∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB ＝AC

＝，AD ＝4，求二面

角A －BC －D 的度数。

解：由已知条件∠BAC＝

90°，AB ＝AC ， D

A B C

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之欧阳学文创作 设BC 的中点设为O ，则OA ＝

OC ＝ BC ＝ ∴ 解之得： ∴

4.如图AC⊥面BCD ，BD⊥面ACD ，若AC ＝CD ＝1，∠ABC＝30°，求

二面角

的大小。 解： 即所求角的大小为

。 D

O A

B

C B

A C D

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（此题也可用垂线法）

练习：

1.已知四棱锥PABCD的底面为直角梯

形，AB∥DC，底面

ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是

PB的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。方案一：

（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：CD⊥PD.

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD 都垂直，

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之欧阳学文创作 ∴CD⊥面PAD.

又CD 面PCD ，∴面

PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ， 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.

连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=

，又AB=2，

所以四边形ACBE 为正方形.由PA⊥面ABCD 得∠PEB=90°

在Rt△PEB 中

BE=，PB=，

（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N ，连结BN. 在Rt△PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ，

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得C B⊥PC，

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在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=，

.∴AB=2，

故所求的二面角为

方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D （1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（Ⅰ）证明：因

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由题设知AD⊥DC，且AP与AD 是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

要使

为所求二面角的平面角.

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