第八章非正弦周期电流电路的分析

电路原理（上） 周守昌

第八章 非正弦周期电流电路的分析

主要内容：

? 了解非正弦周期电路的概念、研究棵正弦周期电路的意义及方法; ? 理解并掌握谐波分析法的基本思想及方法;

? 理解非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的定义及其计算; ? 理解并掌握非正弦周期电路的分析方法及解题步骤;

§8-1 周期函数的傅立叶级数展开式

一、傅立叶级数

设T为周期函数f(t)的周期，即f(t)= f(t+kT)，k=0，1，2，3? ，如果f(t)满足狄里赫利条件，即

（1）在一个周期内，如极大值和极小值的数目为有限个； （2）在一个周期内，如只有有限个不连续点;

（3）在一个周期内，f(t)绝对值的积分为有限值，即?f(t)dt??，则f(t)可展开

0T为一无穷级数。

1、傅立叶级数的第一形式

af(t)?0?a1cos?1t?a2cos2?1t???b1sin?1t?b2sin2?1t???

2a0? ???(ancosn?1t?bnsinn?1t)

2n?1a其中：n为正整数；0，an，bn称为傅立叶系数。

2a2、傅立叶系数0，an，bn的计算式

2对和式两端在一个周期内积分 TTaTT0f(t)dt?dt?acos?tdt??0?o2?o11?oa2cos2?1tdt??

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???Tob1sin?1tdt??b2sin2?1tdt?? ?oTa0 2a01?2T?T0f(t)dt，

a0是f(t)在T内的平均值，称为直流分量。 2求an：用cos nω1t乘和式两端

af(t)cosn?1t?0cosn?1t?a1cos?1tcosn?1t?a2cos2?1tcosn?1t2

???ancos2n?1t?b1sin?1tcosn?1t???bnsin?1tcosn?1t两端在一周期内积分得：

1T(1?cos2n?1t)dt?an 22?T0f(t)cosn?1tdt??ancos2n?1tdt?ab?0TT0?an?2Tf(t)cos(n?1t)dt ?0T积分出来之后，令 n=1.2.3.…便可求得a1. a2 ……

求bn :同理用sinnω1t乘和式两端，并就两端在一周期内积分，可得：

2Tbn??f(t)sin(n?1t)dt

T03、傅立叶展开式的第二种形式

将和式中的同频率的正弦项和余弦出合并为一个同频率的正弦波（可用相量法）

A0???Anmsin(n?1t??n) f(t)?2n?1式中：AnmA0a0an??a?b；?n?tg； 22bn2n2n?1二、周期函数的几种对称性 1、奇函数： f(t) = -f(-t) 特点：（1）图形对称于原点；

（2）上下平移会破坏对称性，

所以平均值必为零； （3）左右平移可破坏对称性。

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奇函数的波形示例

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结论：不含cos项；an= 0；2、偶函数： f(t) = f(-t)

a0=0；仅含sin项；bn≠0 2特点：（1）图形对于纵轴对称 （2）上下平移仍为偶函数，

可有非零平均值

（3）左右平移可破坏纵轴对称性

a结论：不含sin项；bn=0；an≠0 ；0可不为零.

23、奇谐波函数： f(t) = -f(t+T/2)

(a) (b)

奇谐波函数的波形示例

偶函数的波形示例

波形对称性：后半周反号重复前半周，或后半周左移半周与前半周成镜像。称为奇半波对称性。f(t)称为奇谐波函数。

特点：（1）左右平移不影响对称性；上下平移一定破坏对称性。 （2）只含有奇谐波函数；不含偶次谐波和直流分量

a结论：0=0 ，an和bn中n只取奇数。

2小结：1、奇，偶函数的对称性可能因原点的移动而遭破坏，奇谐波函数的对称性不受原点移动的影响。

2、适当选择时间起点，可使有些函数具有一种以上的对称性。

3、对波形的对称性的判断可直观地判断哪些谐波存在，哪些谐波不存在。减少付立叶级数展开的工作量。

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§8-2 线性电路对周期性激励的稳态响应

一、谐波分析法的思想：

在电工程中常见的周期性激励信号一般都满足狄里赫利条件，都可展开为傅氏级数。则谐波分析法是利用高等数学中的傅氏级数展开法，将非正弦周期激励信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算各次谐波的正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦分量，最后将所得的分量按时域形式叠加，就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态响应。其实质是将一个非正弦的周期电路转换为一多个正弦电流电路来计算。

由于傅氏级数的收敛性，根据工程计算所允许的误差范围，一般只取前若干项来计算。（对周期电压信号可认为是若干谐波电压源相串联，对周期电流信号可认为是若干谐波电流源相并联）。

二、非正弦周期电流电路的计算步骤：

1. 把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅氏级数，高次谐波取到哪一项为止，要视所需精度来确定。

2. 分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分量单独作用时的响应。对于恒定分量，求解时将电容开路，电感短路，归结为一个直流电路的求解;而在求各次谐波的响应时，应特别注意电容和电感的参数可能在某一频率下产生串联谐振或并联谐振，此时，在各次谐波下，电路的求解归结为普通正弦交流电路的求解。

3. 应用叠加定理，将基波分量和各次谐波分量所引起的响应在时域内进行叠加，

不能用相量相加，得到所求响应。

例1 图示电路中，已知ω = 314 rad/s, R1 = R2 = 10 ?, L1 = 0.106 H，L2=0.0133H，C1=95.6μF，C2=159?F ，us(t)?(10?202sin?t?102sin3?t) V，求i1(t)及i2(t)。

解：直流分量电压单独作用时，电容相当于开路，电感相当于短路

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I10?Us010? A?1 A,I20?0 R110基波分量电压单独作用时，L1与C1并联的等 效导纳为

j? C1?1?j(3?10?2?3?10?2) S?0 j? L1相当于开路，因此

??I??I11m21m?Us1mR1?R2?1j? C2?202ej0? A=1ej45 A 10?10?j20?基波分量电压单独作用时响应的时域解为

i11(t)?i21(t)?1sin(? t?45?) A

三次谐波分量电压单独作用时，L1与C1并联的等效阻抗为

11j3? C1?j3? L1??j12.5?

而电感L2在三次谐波频率下的阻抗为j3?L2 = j12.5 ?，所以对三次谐波而言，L1与C1并联后再与L2串联，发生串联谐振，相当于短路。故

??I13m?Us3mR1102ej0j0???0 A ?A?2eA ;I23m10?三次谐波分量电压单独作用时响应的时域解为

i13(t)?2sin3? t A,i23(t)?0 A

将响应的直流分量和各次谐波分量单独作用时的正弦稳态响应叠加起来，即为电路的稳态解

i1(t)?I10?i11(t)?i13(t)?[1?sin(? t?45?)?2sin? t] Ai2(t)?I20?i21(t)?i23(t)?1sin(? t?45) A

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