高二数学教案：7.3两条直线的位置关系（五）.doc

课 题：7.3教学目的：

两条直线的位置关系（五）

1. 掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式； 2.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 教学重点：两条直线平行和垂直的条件应用 教学难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题 授课类型：练习课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞一、知识点汇总：

1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；

(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直 2．斜率存在时两直线的平行与垂直：

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜

王新敞率相等，则它们平行，即l1//l2?k1=k2且b1?b2

王新敞已知直线l1、l2的方程为l1：A1x?B1y?C1?0，

l2：A2x?B2y?C2?0(A1B1C1?0,A2B2C2?0)

l1∥l2的充要条件是

A1B1C1 ??A2B2C2王新敞⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k2??1．

已知直线l1和l2的一般式方程为l1：A1x?B1y?C1?0，

l2：A2x?B2y?C2?0，则l1?l2?A1A2?B1B2?0．

3.直线l1到l2的角的定义及公式：

直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角. l1到l2的角?：0°＜?＜180°， 如果1?k1k2?0,即k1k2??1,则???2.如果1?k1k2?0，

tan??k2?k1 1?k2k1王新敞

4．直线l1与l2的夹角定义及公式:

l1到l2的角是?1, l2到l1的角是π-?1,当l1与l2相交但不垂直时, ?1和π-?1仅有

一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线l1⊥l2时,直线l1与l2的夹角是

?.夹角?：0°＜?≤90° 2王新敞如果1?k1k2?0,即k1k2??1,则???2.如果1?k1k2?0，tan??k2?k1 1?k2k1王新敞5．两条直线是否相交的判断

两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：

?A1x?B1y?C1?0是否有惟一解 ??A2x?B2y?C2?0王新敞6．点到直线距离公式：

点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离为：d?7．两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0，

Ax0?By0?CA?B22

l2：Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为d?二、直线系方程

8．直线系方程

C1?C2A?B22 王新敞若两条直线l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0有交点，则过l1与l2交点

的

直

线

系

方

程

为

(A1x?B1y?C1)＋

?(A2x?B2y?C2)?0或

(A2x?B2y?C2)+?(A1x?B1y?C1)?0 (λ为常数) 三、讲解范例：

例1 两条直线y?kx?2k?1和x?2y?4?0的交点在第四象限，则k的取值范围是( )

A.（－6，2） B.（－

1111，0） C.（－，－）D.（，＋∞) 6262解法一：解方程组??x?2y?4?04k?26k?1,得交点为(－） 2k?12k?1?y?kx?2k?1

∵此点在第四象限

y?4k?2???0????2k?1?即?∴?6k?1????0????2k?1∴－

11?k?,22

11?k??.26P(-2,1)OA(4,0)xBQ11?k??，故选C. 26解法二：如图，直线x?2y?4?0与x轴的交点是A（4，0），方程y?kx?2k?1表示的是过定点P（－2，1）的一组直线，其中PB为过点P且与x?2y?4?0平行的直线 由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率kPB＜k＜kPA 王新敞而kPA＝－

1111，kPB＝－，所以－＜k＜－ 故选C. 6226评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的

方法解决，让学生予以体会 例2 求证：不论m为什么实数，直线(m?1)x?(2m?1)y?m?5都通过一定点 证法一：取m＝1，得直线方程y＝－４；再取m＝

1，得直线方程为x＝9. 2从而得两条直线的交点为(9，－４），又当x＝9，y＝－４时，有

9(m?1)?(?4)(2m?1)y?m?5

即点(9，－４）在直线(m?1)x?(2m?1)y?m?5上， 故直线(m?1)x?(2m?1)y?m?5都通过定点(9，－４） 证法二：∵(m?1)x?(2m?1)y?m?5，∴m（x＋2y－1）－（x＋y－5）＝0，

则直线(m?1)x?(2m?1)y?m?5都通过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点.

由方程组??x?2y?1?0，解得x＝9，y＝－４，即过点(9，－４）

?x?y?5?0所以直线(m?1)x?(2m?1)y?m?5经过定点(9，－４). 证法三：∵（(m?1)x?(2m?1)y?m?5，

∴m（x＋2y－1）＝x＋y－5

由m为任意实数，知关于m的一元一次方程m（x＋2y－1）＝x＋y－5的解集为

R，

∴??x?2y?1?0，解得x＝9，y＝－４

?x?y?5?0所以直线(m?1)x?(2m?1)y?m?5都通过定点(9，－４） 王新敞例3 若a?b?c?0，求证直线ax?by?c?0必经过一个定点. 证明：由a?b?c?0，且a,b不同时为0，设b≠0，则a??(b?c)

代入直线方程ax?by?c?0，得(x－y）＋

c（x－1）＝0. b此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程. 解方程组??x?y?0得x＝1，y＝1

?x?1?0即两直线交点为(1，1），故直线ax?by?c?0过定点(1，1). 点评：以上例题是直线系的应用问题 王新敞例4已知点A的坐标为(－４，４），直线l的方程为3x＋y－2＝0，求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线l关于点A的对称直线l?的方程. 解：(1)设点A′的坐标为（x′，y′）.

因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，而直线l的斜率是－3，所以kAA?′＝

1. 3y??4y??41,所以? 又因为kAA?＝

x??4x??43王新敞再因为直线l的方程为3x＋y－2＝0，AA′的中点坐标是(3·

x??4y??4,)，所以22x??4y??4?－2＝0 22王新敞由①和②，解得x′＝2，y′＝6.所以A′点的坐标为(2，6) 王新敞(2)关于点A对称的两直线l与l?互相平行，于是可设l?的方程为3x＋y＋c＝0.在直线l上任取一点M(0，2），其关于点A对称的点为M′（x′，y′），于是M′点在l?上，且MM′的中点为点A，由此得

x??0y??2??4,?4，即：x′＝－８，y′＝6. 22于是有M′（－８，6）.因为M′点在l?上， 所以3?（－８）＋6＋c＝0，∴c＝18 王新敞故直线l?的方程为3x＋y＋18＝0 王新敞

例5光线由点A(?1,4)射出，遇到直线l：2x?3y?6?0后被反射，已知其B(3,反射光线所在直线的方程.

62)，求13?y0?A3?,??x?12解：设点A关于l的对称点为A?(x0,y0)，则?0

?2?x0?1?3?y0?4?6?0??2229?x??,??3x0?2y0?11?0?013解得?即?

2x?3y?2?0280?0?y0?.?13?6228?621313所求直线方程为y??(x?3)，即13x?26y?85?0

29133?13王新敞点评：以上例题是点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题.

例6 求直线l1:2x+y-5=0,l2: x+3y-4=0的夹角?，l1到l2的角?1，l2到l1的角?2 王新敞解：由两条直线的斜率k1=-2,k2=-

1，得 31?2k2?k1?3???3??1.??，tan?1＝1，?1＝，?2=π-＝tan?=.

21?k1k244441?3?点评:夹角是指两条直线所夹的锐角，不用考虑顺序.一条直线到另一条直线的角(简称为“到角”)有直线的先后顺序问题，其范围应大于0且小于π.

例7 已知点A(-1,1),B(1,1),点P是直线y=x-2上的一点，满足∠ …… 此处隐藏：4687字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……