黄昆版固体物理学课后答案(2)

(?????)?(?e221iaq221??e1?iaq222)(?e1?iaq221??e1iaq222)?0

(?????)?(?e22122221iaq2212??e1?iaq222)(?e1?iaq221??e1iaq222)?0

因为?1??、?2?10?，令?0??1?24(11?0??2)2?(101?20cosaq)?0?0

c10c22,?2??10?0得到 mm22两种色散关系：???0(11?20cosqa?101)

22当q?0时，???0(11?121)，

???22?0???0

当q??a时，???(11?81)，

220???20?0???2?0

（2）色散关系图：

3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有?(q)??0?Aq2 求证：f(?)?V11/2???,???0;f(?)?0,???0. ??023/24?A2212＜解＞???0时，???0?Aq?0f(?)?0,??0??0???Aq?q?A

12

??0???12

依据?q?(q)??2Aq,f(?)?3?2???V?ds，并带入上边结果有

?q?(q)?dsV1A1/2V11/2 f???????4?????????????00331/2223/2?2???q?(q)?2??2A??0????2??AV

3.8、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T。

证明：在k到k?dk间的独立振动模式对应于平面中半径n到n?dn间圆环的面积2?ndn，且

2

L253s?2?ndn?kdk?kdk即?????d?则

2?2?2?v?23s?kBT???2d??E?0e??/kBT?12?v?2?2?E)s?T2 ?T33sE?2?v?2??m0??DD??????????d??kBT??kBTe??/kBT?12?3?3skT??B??2?v?2?2?xDDx2dx， xe?1T?0时，E?T3,?Cv?(

3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为F?U0?kBT??q?1????q证明:量子谐振子的自由能为F?U?kBT????n?1?ekBT?q?2kBT?????q??n?? ?q?kBT????? ????经典极限意味着（温度较高）kBT???g

x2应用e?1?x?x?...

所以e???qkBT???q??1?????...

kBT?kBT???q2因此F?U???q?????q?1??q??kBT?n?1?1???U0?kBT?n?? ?kBT?q2q??kBT?1??q ?2q1??，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2其中U0?U?

3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为

证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能

13

之和。E0???m0E0???g???d?将E0????13V2??和g????代入积分有 ?2322?vsE0?93V94???k?得E?NkB?D ，由于???N?mBD0mm816?2vs382一股晶体德拜温度为~10K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．

3.11、一维复式格子m?5?1.67?10A00学波?max，声学波?max。 ,?min?24g,M?4,??1.5?101N/m(即，光1.51?104dyn/cm),求（1）m（2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在300k时的平均声子数。

0（4）与?max相对应的电磁波波长在什么波段。

＜解＞（1），?Axam2?2?1.5?104dyn/cm311????3.00?10s, 24M4?5?1.67?10

o?max2??M?m?2?1.5?104??4?5?5??1.67?1024dyn/cm???6.70?1013s?12424Mm4?5?1.67?10?5?1.67?10?Amax2?2?1.5?104dyn/cm ???5.99?1013s?124m5?1.67?10A??max?6.58?10?16?5.99?1013s?1?1.97?10?2eVo?16（2）??max?6.58?10?6.70?1013s?1?4.41?10?2eV

o??min?6.58?10?16?3.00?1013s?1?3.95?10?2eV（3）nAmax?1eA??max/kBT?1?0.873,nOmax?1eO??max/kBT?1?0.221

Onmin?1eO??min/kBT?1?0.276

（4）??

2?c??28.1?m

14

第四章 能带理论

4.1、根据k???a状态简并微扰结果，求出与E?及E?相应的波函数??及???，并说明它们的特性．说

2明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布?说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。

＜解＞令k???a，k????a，简并微扰波函数为??A?k0(x)?B?k0(x)

0*??E(k)?EA?VB?0 n??0E VnA????k???E??B?0 取E?E?

带入上式，其中E??E0(k)?Vn V(x)<0,Vn?0,从上式得到B= -A,于是

A????A??(x)??(x)???L0k0k??n?x?ix??ina2An?ae?esinx =??aL??取E?E?，E??E0(k)?Vn VnA??VnB,得到A?B

A????A??(x)??(x)???L0k0k??n?x?ix??ina2An??ea?=cosx ?eaL?? 由教材可知，??及??均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度?(k)为零．产生驻波因为电子波矢k?n?2?2a?时，电子波的波长??，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，

akn并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。

15

于是：布里渊区边界到原点的距离为：

143?3? ??4aa3? a即：当Fermi球与第一布里渊区边界相切时，kF?又由：2?43??kF?N?x 3?2??3V3N?xkF33?33? ??2??V3?3?2a3a3于是有：

N?x3?N?x3??3?? N3aN4a4?x3???1?0.3597 N4x0.35970.3597???0.56 N?x1?0.35970.6403?即：当锌原子与铜原子之比为0.56时，Fermi球与第一布里渊区边界相接触。

4.12、正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为U?x,y???4Ucos??2?x??2?y?cos???.

?a??a?用基本方程，近似求出布里渊区角?????,?处的能隙． aa???,b??,? ＜解＞以ij表示位置矢量的单位矢量，以b12表示倒易矢量的单位矢量，则有，

??Gb??2?gb????yi?,G?G1br?xi 12211?g2b2,g1,g2为整数。a??晶体势能U?x,y???4Ucos??2?x??2?y?cos???. aa?????i2??x?i2??x??i2??y?i2??y?iG?11?U?r???U?e?e?e??e??UG?11?e????G?11?其中UG?11???U，而其他势能傅氏系数UG?10??UG?20??...?0。这样基本方程

??k???C?K???UGG(K?G)?0变为

G 21

??K???C?K??UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???0求布里

渊区角顶?111????,?，即k?G(,)?G?11?处的能隙，可利用双项平面波近似

222?aa?来处理。

??C(K)eiKr?C(K?G)ei(K?G)r当K?11G?11?,K??G?11?时依次有 2211K?G?11???G?11?,K?G?11???G?11?而其他的K?G?11?，

22K?G?11??G?11?，所以在双项平面波近似下上式中只有

?1??1?C?G?11??,C?K?G?11???C??G?11??;?2??2? ?1??1?C?G?11??,CK?G?11??C??G?11??;?2??2??????1??1???1G?11????C?G?11???UC??G?11???0??2??2??2???1??1????1G?11????C??G?11???UC??G?11???0??2??2??2 ?12G?11??? ?u

1?G?11?2

?u ??? =0，因为

2?12G?11???1?G?11?222?2?1??????G?11????2m?2ma2??2?2由行列式有(???)?U?0解得?=??U??U,

ma222所以在（,-）处的能隙为??=?+????2u.

aa

??第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动

?271(?coska?cos2ka)， 其中a为晶格常数，m5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 E(k)?2ma88是电子的质量。

试求（1）能带宽度；

（2）电子在波矢k状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。

22

?271(?coska?cos2ka) 解：（1） E(k)?2ma881?272

=?－coska+(2coska－1)]

8ma28?22

＝?(coska－2)－1? 24ma 当ka＝(2n+1)?时,n=0,?1,?2?

2?2 Emax(k)?

ma2 当ka=2n?时, Emin(k)?0 能带宽度＝Emax?Emin （2）??*2?2? ma2

1dE(k)?1?(sinka?sin2ka)

?dkma4??2?1 (3) m???2E??m(coska?cos2ka)?1

2???k2?? 当k?0时,带底，m*?2m 当k??

5.5、

?2时,带顶，m*??m a3?1解：（1）电子的运动速度：v??kE(k)

??dvd1?1dE?(?kE)??k?∴ 加速度： dtdt??dt由于单位时间 …… 此处隐藏：5389字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……