动力学中三种典型物理模型(2)

由v22－v0′2＝－2ax2得x2＝3 m 由v2＝v0′－at1得t1＝1 s ②向左加速到v3＝4 m/s时

4

由v32－v22＝2ax3得x3＝ m

3故向左先加速后匀速 2

由v3＝v2＋at2得t2＝ s

3③向左匀速运动v4＝v3＝4 m/s 5

x4＝x2－x3＝ m

35

由x4＝v4t3得t3＝ s

1225

故t＝t1＋t2＋t3＝ s

12

变式2 (2018·湖北荆州模拟)如图6所示为货场使用的传送带的模型，传送带倾斜放置，与水平面夹角为θ＝37°，传送带AB足够长，传送皮带轮以大小为v＝2 m/s的恒定速率顺时针转动.一包货物以v0＝12 m/s的初速度从A端滑上倾斜传送带，若货物与皮带之间的动摩擦因数μ＝0.5，且可将货物视为质点.(g＝10 m/s2，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

图6

(1)求货物刚滑上传送带时加速度为多大？

(2)经过多长时间货物的速度和传送带的速度相同？这时货物相对于地面运动了多远？ (3)从货物滑上传送带开始计时，货物再次滑回A端共用了多长时间？ 答案 (1)10 m/s2，方向沿传送带向下 (2)1 s 7 m (3)(2＋22) s

解析 (1)设货物刚滑上传送带时加速度为a1，货物受力如图所示：

根据牛顿第二定律得

沿传送带方向：mgsin θ＋Ff＝ma1 垂直传送带方向：mgcos θ＝FN 又Ff＝μFN

由以上三式得：a1＝g(sin θ＋μcos θ)＝10×(0.6＋0.5×0.8) m/s2＝10 m/s2，方向沿传送带向下. (2)货物速度从v0减至传送带速度v所用时间设为t1，位移设为x1，则有： v－v0v0＋vt1＝＝1 s，x1＝t＝7 m

21

－a1

(3)当货物速度与传送带速度相等时，由于mgsin θ＞μmgcos θ，此后货物所受摩擦力沿传送带向上，设货物加速度大小为a2，则有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2， 得：a2＝g(sin θ－μcos θ)＝2 m/s2，方向沿传送带向下. 0－v

设货物再经时间t2，速度减为零，则t2＝＝1 s

－a2v＋0

货物沿传送带向上滑的位移x2＝t＝1 m

22则货物上滑的总距离为x＝x1＋x2＝8 m.

货物到达最高点后将沿传送带匀加速下滑，下滑加速度大小等于a2.设下滑时间为t3，则x1

＝a2t32，代入解得t3＝22 s. 2

所以货物从A端滑上传送带到再次滑回A端的总时间为t＝t1＋t2＋t3＝(2＋22) s.

命题点三 “滑块—木板”模型

如图7所示，解决此模型的基本思路如下：

图7

运动状态 板块速度不相等 板块速度相等瞬间 板块共速运动 处理方法 隔离法 对滑块和木板进假设法 假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力Ff；比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系，若Ff>Ffm，则发生相对滑动 整体法 将滑块和木板看成一个整体，对整体进行受力分析和运动过程分析 具体步骤 行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程 ①两者速度达到相等的瞬间，摩擦力可能发生突变 临界条件 ②当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘，二者共速是滑块滑离木板的临界条件 相关知识 例3 (2017·全国卷Ⅲ·25)如图8，两个滑块A和B的质量分别为mA＝1 kg和mB＝5 kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1＝0.5；木板的质量为m＝4 kg，与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.1.某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0＝3 m/s.A、B相遇时，A与木板恰好相对静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2.求：

图8

(1)B与木板相对静止时，木板的速度； (2)A、B开始运动时，两者之间的距离.

答案 (1)1 m/s，方向与B的初速度方向相同 (2)1.9 m

解析 (1)滑块A和B在木板上滑动时，木板也在地面上滑动.设A、B和木板所受的摩擦力大小分别为Ff1、Ff2和Ff3，A和B相对于地面的加速度大小分别为aA和aB，木板相对于地面的加速度大小为a1.在滑块B与木板达到共同速度前有 Ff1＝μ1mAg Ff2＝μ1mBg

Ff3＝μ2(m＋mA＋mB)g 由牛顿第二定律得 Ff1＝mAaA Ff2＝mBaB

时间及位移关系式、运动学公式、牛顿运动定律、动能定理、功能关系等

① ② ③

④ ⑤

Ff2－Ff1－Ff3＝ma1

⑥

设在t1时刻，B与木板达到共同速度，其大小为v1.由运动学公式有 v1＝v0－aBt1 v1＝a1t1

⑦ ⑧

联立①②③④⑤⑥⑦⑧式，代入已知数据得 v1＝1 m/s，方向与B的初速度方向相同

⑨

(2)在t1时间间隔内，B相对于地面移动的距离为 1

sB＝v0t1－aBt12

2

⑩

设在B与木板达到共同速度v1后，木板的加速度大小为a2.对于B与木板组成的系统，由牛顿第二定律有 Ff1＋Ff3＝(mB＋m)a2

?

由①②④⑤式知，aA＝aB；再由⑦⑧式知，B与木板达到共同速度时，A的速度大小也为v1，但运动方向与木板相反.由题意知，A和B相遇时，A与木板的速度相同，设其大小为v2.设A的速度大小从v1变到v2所用的时间为t2，则由运动学公式，对木板有 v2＝v1－a2t2

对A有：v2＝－v1＋aAt2

? ?

在t2时间间隔内，B(以及木板)相对地面移动的距离为 1

s1＝v1t2－a2t22

2

?

在(t1＋t2)时间间隔内，A相对地面移动的距离为 1

sA＝v0(t1＋t2)－aA(t1＋t2)2

2

?

A和B相遇时，A与木板的速度也恰好相同.因此A和B开始运动时，两者之间的距离为 s0＝sA＋s1＋sB

联立以上各式，并代入数据得 s0＝1.9 m

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