第一讲 元素与集合(4)

*集合与函数综合问题

例1、数集M由2003个不同的实数组成，对于M中任何两个不同的元素a和b，数是有理数．证明：对于数集M中任何一个数a，（2003年俄罗斯数学奥林匹克试题）

[分析及答案] 分析：欲证

是一个有理数，只需把

表示为几个有理数的和即可． 都是有理数．

都

证明：设a，b，c是数集M中任意三个两两不同的元素，由题设知

都是有理数，于是

是有理数．

是有理数，从而是有理数，进而是有理数．所以

是有理数．

例2、称有限集S的所有元素的乘积为S的“积数”．给定数集有含偶数个元素的子集的“积数”之和．

[分析及答案] 分析：数集M的所有子集的积数之和为

求数集M的所

设数集M的所有含偶数个元素的子集的积数和为x，所有含奇数个元素的子集的积数之和为y，

则只需再建立一个关于x，y的方程，就可解出x，y．

解答：设数集M的所有含偶数个元素的子集的积数之和为x，所有含奇数个元素的子集的积数之和为y，则

构造函数F(x)=(x-1/2)*(x-1/3)*...*(x-1/100),由定义可知X,X^3,X^5...X^97的系数和即为数集M的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和；

设F(X)=a0+a1*x+a2*x^2+....a98*x^98+x^99;

则F(1)=a0+a1+....+a98+1=1/2*2/3*...*99/100=1/100;

F(-1)=a0-a1+.....+a98-1=-3/2*4/3*...100/99*101/100=-101/2;

所以a1+a3+...+a97=[F(1)-F(-1)-2]/2=4851/200

选A。

这了打字方便，先规定个符号，记含有n个元素的子集的积数合为An， 构建函数f(x)=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)??（x+1/100) 则f(1)=3/2*4/3*5/4*??*101/100=101/2 f(-1)=(-1/2)*(-2/3)*(-3/4)*(-99/100)=-1/100 将f(x)展开得

f(x)=x^99+A1x^98+A2x^97+??+A98x+A99 f(1)=1+A1+A2+??+A99=101/2

f(-1)=-1+A1-A2+A3-??-A98+A99=-1/100

设A1+A3+A5+??A99=m,A2+A4+A6+??+A98=n 则1+m+n=101/2,-1+m-n=-1/100 解得n=50.51即为答案

例3、设集合Sn={1，2，…，n}．若X是Sn的子集，把X中的所有数的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0）．若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集． （1）求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等；

（2）求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等； （3）当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和.（1992年全国高中数学联赛试题）

[分析及答案]

分析：要证明两个集合的元素的个数一样多，一种方法是直接把这两个集合的元素个数算出来，另一种方法是在这两个集合之间建立一个一一对应．本题我们将用后一种方法来解． 解答：（1）设A是Sn的任一奇子集，构造映射f如下：

（注：A—{1}表示从集合A中去掉1后得到的集合） 所以，映射f是将奇子集映为偶子集的映射．

易知，若A1，A2是Sn的两个不同的奇子集，则f（A1）≠f（A2），即f是单射． 又对Sn的每一个偶子集B，若1∈B，则存在A=B\\{1}，使得（fA）=B；若

，则存在

使得f（A）=B，从而f是满射．

所以，f是Sn的奇子集所组成的集到Sn的偶子集所组成的集之间的一一对应，从而Sn的奇子