第一讲 元素与集合(3)

7．S1,S2,S3为非空整数集合，对于1、2、3的任意一个排列i,j,k，若x?Si,y?Sj，则

x?y?Sk；

（1）证明：3个集合中至少有两个相等．

（2）3个集合中是否可能有两个集合无公共元素?

设x ∈ s1,且y ∈ s2

那么x-y ∈s3。

根据已知条件，

因为x-y ∈ s3,且x ∈ s1

所以-y ∈ s2。

同理可证，-x ∈ s1，以及y-x∈ s3

因此，对于任意一个集合，它的元素都是成对（一正一负）出现的。 容易知道，x+y ∈ s3，-x-y∈ s3。

如果某个集合（如S2）中含有元素0，那么由x-0=x，知道S1和S3的元素全 部相同，S1=S3。

如果x（∈ S1），y（∈ S2）都不是0，

那么S3中的元素x+y和x-y中必有一个的绝对值小于x和y中绝对值较大的一个（分同号和异号讨论）。

设|x|>|x-y|，那么取S2中的y和S3中的x-y重复使用上述规则，

从而得到一串绝对值递减的数列：|x|，|x-y|，|x-2y|，……

但是绝对值递减的整数列不能无限下去，因此必然最终得到0（无穷递降法）。 所以，我们证明了必然有一个集合中含有0元素。

8．若x≥1，xx?x0,x0?(kk,(k?1)k?1)?Q，其中k?N．求证：x?QC．（其中，Q为有理数集，QC为无理数集）