六年级奥数-第五讲[1].几何-立体部分 教师版(5)

体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)

【解析】 以3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm，高是3cm的圆锥体，体积为

1313?3.14?4?3?50.24(cm)

23以4cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm，高是4cm的圆锥体，体积为

?3.14?3?4?37.68(cm)

23以5cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高3?4?5?2.4cm的两个圆锥，高之和是

5cm的两个圆的组合体，体积为

13?3.14?2.4?5?30.144(cm)23

【巩固】如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC边为轴旋转

一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？

BCA

abπ32【解析】 设BC?a，AC?b，那么以BC边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为

一周，那么所形成的圆锥的体积为

2，以AC边为轴旋转

abπ32，由此可得到两条等式：

??a?3?ab?48b4，两条等式相除得到，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到，根据勾??2?b?4a3???ab?36股定理，直角三角形的斜边AB的长度为5，那么斜边上的高为2.4．

如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为

2.4，高的和为5，所以体积是

2.4π?532?9.6π．

【例 34】 如图，ABCD是矩形，BC?6cm，AB?10cm，对角线AC、BD相交O．E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)

AEDAEDOO

【解析】 扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．

两个圆锥的体积之和为2??π?32?5?30π?90(立方厘米)；

31BFCBFC圆柱的体积为π?32?10?270(立方厘米)， 所以白色部分扫出的体积为270?90?180(立方厘米)．

【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD是矩形，BC?6cm，AB?10cm，对角线AC、BD相交O．图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？

ADO

【解析】 设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V，则V等于高为10厘米，底面半径

是6厘米的圆锥，减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积后得到．

所以，V?13?π?6?10?2?2BC13?π?3?5?90π2(立方厘米)，

那么阴影部分扫出的立体的体积是2V?180π?540(立方厘米)．

【例 35】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下

底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．

【解析】 ⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．

外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：10?10?6?4?4?4?π?22?2?536?8π(平方厘米)；

内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：

4?3?16?2??4?4?π?22??2π?2?3?2?192?32?8π?24π?224?16π(平方厘米)，

所以，总表面积为：224?16π?536?8π?760?8π?785.12(平方厘米)．

⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用

原立方体的体积减去这个体积即可．

挖出的几何体体积为：4?4?3?4?4?4?4?π?22?3?2?192?64?24π?256?24π(立方厘米)； 所求几何体体积为：10?10?10??256?24π??668.64(立方厘米)．

课后练习

练习1.

（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)

【解析】 按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；

按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．

图1 图2 图3 图4

练习2. 一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时

酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)

301525

【解析】 观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．

当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高

的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：15π?瓶中剩余空间的体积(30?25)π?102?102102?102?375π

?125π，酒瓶容积：375π?125π?500π?1500(ml)

练习3. 如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂

刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

【解析】 该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是12?22?42?21平方米，从上面观察到的面积是42?16平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是21?4?16?100平方米．

练习4. (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直

径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008cm2，则这个圆柱体木棒的侧面积是________cm2．(π取3.14)

【解析】 根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．

设圆柱体底面半径为r，高为h，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：

222?2r?h?2008(cm)，所以r?h?502(cm)，所以，圆柱体侧面积为：

2?π?r?h?2?3.14?502?3152.56(cm)．

2

练习5. 如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180

厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？

?180??50?【解析】 卷在一起时铜版纸的横截面的面积为π???π?????7475π(平方厘米)，如果将其展开，展

?2??2?22开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25毫米(即0.025厘米)，所以长为

7475π?0.025?938860厘米?9388.6米．所以这卷铜版纸的总长是9388.6米． 本题也可设空心圆柱的高为h，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中h在计算过程将会 消掉．

月测备选

【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条

又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

【解析】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了

(3?1)?(4?1)?(5?1)?9刀，而原正方体一个面的面积1?l?1(平方米)，所以表面积增加了9?2?1?18(平方米)．原来正方体的表面积为6?1?6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6?18=24(平方米)．

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