湖北省荆门市11-12学年高二下学期期末考试（数学理） 2(2)

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（Ⅱ）平面SAB的一个法向量为m?(1,0,0),

?SC?(2,2,?2),SD?(1,0,?2),设平面SCD的一个法向量为n?(x,y,z),

??SC?n?0?x?y?z?0由?令z=1可得平面SCD的一个法向量为n?(2,?1,1), ??x?2z?0?……………9分 ?SD?n?0?显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为?则cos??m?nm?n?6 3即平面SAB和平面SCD所成角的余弦6 …………………………………12分 319．长方体的体积V(x)＝4x(x－a)2，(o＜x＜a)， ……………………………………2分

2tax< a ……………………………………4分 ≤ t 得 0＜x≤

1?2t2a?2xaaa而V′＝12(x－)(x－a) ∴V在（0，）增，在（，a）递减……………6分

3332taa1aa2at)上单减， 第一节 若≥即 t≥，V(x)在(0,]上单增，在(,1?2t34331?2t16a?当x＝时，V取最大值a3 ……………………………………………9分

3272taa12at]上单增 （2）若＜即 0＜t＜时，V(x)在(0,1?2t341?2t由

8ta32ta?当x＝ ……………………………………12分 时，V取最大值

1?2t(1?2t)3c2a2?b21c1422220．（Ⅰ）由题意知e??，∴e?2?，即a?b ?a234aa2y2x2??1……………3分 ?3，∴a?4，又b?b?3 故椭圆的方程为431?1622?l:x?my?4?（Ⅱ）解：由?x2y2得：(3m2?4)y2?24my?36?0 …………………………4分

??1?3?4由??0?(24m)2?4?36(3m2?4)?0?m2?4

设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则y1?y2??224m36 ………………6分 ,yy?123m2?43m2?4?12m2?100116∴OA?OB?x1x2?y1y2?(m?1)y1y2?4m?y1?y2??16? ……8分 ??4?223m?43m?413∵m2?4∴3m2?4?16， ∴OA?OB?(?4，)

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13∴OA?OB的取值范围是(?4，)． ………………………………………………… 10分

4（Ⅲ）证：∵B、E两点关于x轴对称，∴E(x2，－y2) 直线AE的方程为：y?y1?y1?y2(x?x1)，

x1?x2令y = 0得：x?2my1y2?4(y1?y2)?y1?y22m?36?24m?4?3m2?43m2?4?1

?24m3m2?4∴直线AE与x轴交于定点(1，0)． …………………………………………………… 13分 21．（Ⅰ）由f(x)=x-(x+1)ln(x+1)，有f?(x)??ln(x?1)，………………… 2分 当?1?x?0时，f?(x)?0时，f(x)单调递增；

当x?0时，f?(x)?0时，f(x)单调递减；

所以f(x)的单调递增区间为(?1,0]，单调递减区间为[0,??). …… 4分

（Ⅱ）设g(x)=ln(1+x)(x>0)， xx-ln(1+x)x-(1+x)ln(1+x)1+x则g￠. ……………………………6分 (x)==22xx(1+x)由（Ⅰ）知，x-(1+x)ln(1+x)在(0,+ )单调递减， ∴x-(1+x)ln(1+x)<0，即g(x)是减函数， 而n?m?0，所以g?n??g?m?，得

mln(1?n)ln(1?m)， ?nmn得mln(1?n)?nln(1?m)，故?1?n???1?m?. ……………………………… 8分 （Ⅲ）（1）由x1?x2?x3?…?xn?1，及柯西不等式可知，

222x3xnx12x2(???…?)(1?n) 1?x11?x21?x31?xn222x3xnx12x2?(???…?)?(1?x1)?(1?x2)?(1?x3)?…?(1?xn)? 1?x11?x21?x31?xn2?x2x32x221???1?x1??1?x2??1?x3??1?x11?x1?x23??xn2??1?xn?

?1?xn??(x1?x2?x3??xn)2?1，

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?x12x32x22所以????1?x1?x1?x123?21xn2?1?xn2?1，………………………………11分 ??1?n?2?xxx?2?3?（2）由（1）得：??1?x11?x21?x3x??1?n?n????. 1?xn??1?n?n21n1又n?2012，由（Ⅱ）可知?1?n?1n120122012??1?2012?，