高等数学第四章 定积分及其应用(11)

《高等应用数学实训教程》

?（3）求

?20sin(2n?1)xdx．

sinx2112?（4）已知f(2)?,f(2)?0,?f(x)dx?1，求?xf??(2x)dx．

002

（5）求连续函数f(tx)，使它满足

（6）过点P(1,0)作抛物线y?，该切线与上述抛物线及x轴围成一平x?2的切线，?10f(tx)dt?f(x)?xsinx．

面图形，求此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

- 36 -

《高等应用数学实训教程》

（7）设曲线方程为y?e?x(x?0)

① 把曲线y?e?x，x轴，y轴和直线x??(??0)所围平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体体积V(?)，并求满足V(a)?1limV(?)的a； ?2???② 求此曲线上一点，使过此点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出此面积．

2（8）求曲线y?x?2x，y?0，x?1，x?3所围平面图形面积S，并求该平面

图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．

22（9）设平面图形A由x?y?2x与y?x所确定，求图形A绕直线x?2旋转一周

所得旋转体的体积．

- 37 -

《高等应用数学实训教程》

5．证明题:

（1）设函数f(x)在???,???内连续，且F(x)?① 若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数； ② 若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

（2）设f(x)是区间?0,???上单调减少且非负的连续的函数，

?x0(x?2t)f(t)dt，试证：

an??f(k)??f(x)dx(n?1,2,...)，证明数列?an?的极限存在．

k?11nn

（3）设f(x)在?0,1?上可导，f(0)?0,0?f?(x)?1，试证：

?1f(x)dx??1f3(x)dx．

?0????0?

- 38 -

2《高等应用数学实训教程》

（4）设f(x)，g(x)在?a,b?上连续，且g(x)?0，x??a,b?，试证：

?至少存在一点??(a,b)，使得?

（5）设f(x)?

babaf(x)dxg(x)dx?f(?)． g(?)?x?1xsin(et)dt，证明：exf(x)?2．

（6）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内有f?(x)?0，证明：在(a,b)内 存在唯一的?，使曲线y?f(x)与两直线y?f(?)，x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?)，x?b所围平面图形面积S2的三倍．

- 39 -

《高等应用数学实训教程》

（7）证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是W?

mgRh． R?h第四章测试题参考答案

1.选择题：

（1）B；（2）B；（3）C；（4）A；（5）A； （6）C；（7）C；（8）B；（9）B． 2.填空题： （1）0； （2）

?131?ln2； 84（3）ln2；

（4）

233?； 38- 40 -