（五年高考真题）2016届高考数学复习 第十章 第四节 古典概型与

第四节 古典概型与几何概型

考点一 古典概型

1．(2014·陕西，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) 1A. 5

2B. 5

2

3C. 54D. 5

解析 从这5个点中任取2个，有C5＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长632

的取法有C4＝6种，因此所求概率P＝＝.故选C.

105答案 C

2．(2011·陕西，10)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A.1

36

1B. 9

C.5 36

1D. 6

解析 ∵甲、乙参观每一个景点是随机且独立的，∴在最后一个小时参观哪一个景点是等可能的

∴甲有6种可能性，乙也有6种可能性，基本事件空间总数n＝36，事件“二人同在一个

m1景点参观”的基本事件数m＝6，由古典概型概率公式得P＝＝.

n6

答案 D

3．(2011·浙江，9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) 1A. 5

2B. 5

3C. 5

222

4D. 5

解析 语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A2A2A3＝48种摆放方法．

语文、数学两科的两本书都相邻，有A2A2A3＝24种摆放方法．而五本不同的书排成一排总共有A5＝120种摆放方法．

48＋242

故所求概率为1－＝，故选B.

1205答案 B

4．(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

5

223

115

解析 这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝. 6665

答案

6

5．(2014·江苏，4)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．

解析 从1，2，3，6中随机取2个数，共有6种不同的取法，其中所取2个数的乘积是21

6的有1，6和2，3，共2种，故所求概率是＝. 631答案

3

6．(2014·广东，11)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．

解析 十个数中任取七个不同的数共有C10种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处C61

在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝7＝.

C106

36

3

7

1答案

6

7．(2014·江西，12)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．

解析 从10件产品中任取4件共有C10＝210种不同的取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有C3C7＝105种不同的取法，故所1051

求的概率为P＝＝.

21021答案

2

8．(2013·新课标全国Ⅱ，14)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取1

出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.

14

解析 从1，2，…，n中任取两个不同的数共有Cn种取法，两数之和为5的有(1，4)，21241

(2，3)2种，所以2＝，即＝＝，解得n＝8.

Cn14n（n－1）n（n－1）14

2答案 8

9．(2012·江苏，6)现在10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．

解析 由题意可知，这10个数分别为1，－3，9，－27，81，－3，3，－3，3，－3，在这10个数中，比8小的有5个负数和1个正数，故由古典概型的概率公式得所求概率

5

6

7

8

9

2

13

4

P＝＝.

3答案

5

10．(2011·江苏，5)从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．

解析 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数的种数为C4＝6(种)，其中一个数21

是另一个数的两倍的数对为1，2和2，4.故符合条件的概率为＝. 631答案

3

11．(2015·北京，16)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

2

61035

A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．

(1) 求甲的康复时间不少于14天的概率；

(2) 如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(3) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)

解 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1，2，…，1

7.由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，…，7.

7

(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是

P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝. (2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，

37

C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.

因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋

P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.

(3)a＝11或a＝18. 考点二 随机数与几何概型

1．(2015·陕西，11)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )

1049

31A.＋ 42π11B.－ 42π

2

2

11C.－ 2π11D.＋ 2π

解析 由|z|≤1可得(x－1)＋y≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，

由几何概型概率公式可得所求概率为： 112π12

π×1－×1－4242P＝＝ 2

π×1π11

＝－. 42π答案 B

x≤0，???x＋y≤1，?

2．(2014·湖北，7)由不等式组?y≥0，确定的平面区域记为Ω1，不等式组?

??x＋y≥－2??y－x－2≤0

确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) 1

A. 8

1B. 4

3C. 4

7D. 8

11

解析 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－×227

47227

×＝，则所求的概率P＝＝.选D. 22428

答案 D

3．(2013·四川，9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) 1A. 4

1B. 2

3C. 4

7D. 8

解析 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4，0≤y≤4；

而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x，y)||x－y|≤2}，由图示得，该事件概率P＝

S阴影16－43

＝＝. S正方形164

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