《一元二次不等式与解法》典型例题透析(2)

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【变式3】若关于x的不等式mx2?(2m?1)x?m?1?0的解集为非空集，求m的取值范围.

【答案】当m?0时，原不等式为：?x?1?0，即x??1，符合题意.

当m?0时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意 当m?0时，只需??0，

?(2m?1)2?4m(m?1)?01即?，解得??m?0，

8?m?0综上，m的取值范围为：m?[?,??).

类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法

例4．解下列关于x的不等式 （1）x2-2ax≤-a2+1；

2

（2）x-ax+1>0；

2

（3）x-(a+1)x+a<0； 解析：

(1) x2?2ax?a2?1?0?[(x?a)?1][(x?a)?1]?0?a?1?x?a?1

∴原不等式的解集为{x|a?1?x?a?1}。 (2) Δ=a-4

当Δ>0，即

2

18a>2或a<-2时，原不等式的解集为

a?a2?4a?a2?4{x|x?或x?}

22当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{x|x?a}。 2当Δ<0，即-2

当a>1时，原不等式的解集为{x|1总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：

①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；

②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求

解；

③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。 举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：x?(a?【答案】原不等式化为(x?a)(x?①a=1或a=-1时，解集为?； ②当0

21)x?1?0(a?0) a1)?0 a11，解集为：{x|a?x?}； aa 专业知识整理分享

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③当a>1或 -1

11，解集为：{x|?x?a}。 aa【变式2】解关于x的不等式：x2?(a?a2)x?a3?0（a?R） 【答案】x2?(a?a2)x?a3?0?(x?a)(x?a2)?0

当a＜0或a＞1时，解集为{x|x?a或x?a2}； 当a=0时，解集为{x|x?0}；

当0＜a＜1时，解集为{x|x?a2或x?a}； 当a=1时，解集为{x|x?1}；

例5．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0。

解析：若a=0，原不等式?－x+1＜0?x＞1；

若a＜0，原不等式?x?(1?)x?＞1；

若a＞0，原不等式?x?(1?)x?其解的情况应由

221a111?0?(x?)(x?1)?0?x?或xaaa11?0?(x?)(x?1)?0， aa1a1与1的大小关系决定，故 a（1）当a=1时，原不等式?x??；

1（2）当a＞1时，原不等式??x?1；

a1（3）当0＜a＜1时，原不等式?1?x?

a综上所述：

当a＜0，解集为{x|x?1或x?1}； a1a当a=0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为{x|1?x?}； 当a=1时，解集为?； 当a＞1时，解集为{x|1?x?1}。 a总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0； 【答案】当a=0时，x∈(-?,2].

当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为x1?①当a>0时，

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1,x2?2 a WORD格式 可编辑

111时，x?(??,2]?[,??)；

a2a11

若a?0，＝2， 即a?时，x∈R；

a2111若a?0，?2， 即a?时，x?(??,]?[2,??).

a2a112]。 ②当a<0时，则有：?2， ∴ x?[，aa若a?0，?2， 即0?a?【变式2】解关于x的不等式：ax＋2x-1<0； 【答案】当a=0时，x?(??,).

当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)， ①a>0时，则Δ>0，x?(2

12?1?1?a?1?1?a,).

aa②a<0时，

若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；

若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1； 若a<0，△>0， 即 -1

aa【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1>0

【答案】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}；

若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.

2方程ax?x?1?0的判别式△=1-4a

(Ⅰ)当△=1-4a<0，即a?212时，方程ax?x?1?0没有实数根， 4故函数f(x)?ax?x?1的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：

所以，此时不等式ax?x?1?0的解集为实数集R； (Ⅱ)当△=1-4a=0，即a?2212时，方程ax?x?1?0有两个相等实数根x=2， 4故函数f(x)?ax?x?1的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图

如下：

所以，此时不等式ax?x?1?0的解集为(??,2)?(2,??)；

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