2007级高数（下）试题及答案(2)

x?34?y?23?z?51.

2．设z?f(u,v),而u?xy,v?ey,且f具有二阶连续偏导数,

求：?2z?x?y.

解:

?z?x?y?f'u

?2z?x?y?f'?''y''u?y?fuu?x?efuv?? ?f'''y''u?xyfuu?yefuv

四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算曲线积分?L(xe2y?2y)dx?(x2e2y?y)dy, 其中L 是由点A(a,0)沿上半圆周x2?y2?ax(a?0) 到点O(0,0)的弧段.

解: P?xe2y?2y,Q?x2e2y?y.

?Q2y?x?2xe,?P?y?2xe2y?2.

?Q??P?x?y?2.

连接OA构成闭路OABO, 其围成区域为D. 沿OA:y?0,Ia21??0xdx?12a.

?I?????Q?P???L??D??x?y?d??I1 ??2??d??I1

D 6

22?2?12??a???1???a2?a(??2).?2?24

y B

D

x

0 A（a，0）

2、利用高斯公式计算曲面积分??xdydz?ydzdx?zdxdy, ?其中?为上半球面z?R2?x2?y2 的上侧。

解: 记?1为平面z?0的下侧.

?PQ?x?1,??y?1,?R?z?1.

由高斯公式有 原式???????

???1?1?3????0

??2?R3.

五、解下列各题(共2小题, 每小题8分,共16分): ?1、判定正项级数 ?n! 的敛散性

n?1nn(n?1)!nn解: limun?1?limn??unn??(n?1)n?1?n!

?nn?limn?????n?1? ?

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?lim11???1??n??nn???1e?1.

所以原级数收敛.

2、设幂级数 ??4n?1xnn?1n.

(1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数. 解: (1). ??liman?1a?4.?R?1n??n4.

当x?14时, ?

?

14n

发散;

n?1

当x??1?n14时, ?(?1).

n?14n收敛故收敛区间为[?1/4,1/4). (2). 设?S(x)??4n?1n.

n?1nx?S'(x)??4n?1xn?1???(4x)n?1?1n?1n?11?4x.

xx?S'(x)dx?10?11?4xdx??4ln(1?4x).

0即 S(x)??14ln(1?4x). [?1/4,1/4).

(S(0)?0).

六、计算题（共2小题. 每小题8分, 共16分）: 1、求微分方程 y''?10y'?9y?e2x 的通解. 解: r2?10r?9?0.?r1?9,r2?1.

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?Y?C1e9x?C2e.

2xx???2不是特征根, 所以设 y*?Ae.

代入原方程得: A??.?y*??e2x.

1177故原方程的通解为: y?Cx1e9?C2ex?1x7e2.

2、(应用题) 计算由平面z?0 和旋转抛物面

z?1?x2?y2 所围成的立体的体积.

解法一: V???zd?

D???(1?x2?y2)dxdy

D??2?120d??0(1?r)rdr

?2??11214???r??24r??.

?02解法二: V????dv

???2?120d??0rdr?1?r0dz

??2?0d??10(1?r2)rdr

1?2??1214???r?r?24??.

?02七、(6分) 已知连续可微函数 f(x) 满足 f(0)??12,

且能使曲线积分?L[e?x?f(x)]ydx?f(x)dy 与路径无关, 求f(x).

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?xe?f(x)?解: P????y,Q??f(x).

?P?y?e?x?f(x),?Q?x??f'(x).

?Q??P因为曲线积分与路径无关, 所以 .

?x?y于是得：?f'(x)?e?x?f(x).

即： f'(x)?f(x)??e?x.

?f(x)?e??dx???(?e?x)e?dxdx?C??

?e?x??(?e?x)ex?dx?C?? ?e?x???(?1)dx?C???e?x(C?x). 由f(0)??112, 得 C??. ?f(x)??e?x2(x?12).

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