安徽省马鞍山市第二中学2017届高三上学期期中素质测试数学（理）(2)

∥1CD，∴ ME⊥BD，ME=1， ∴ ME ＝ 22 ∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角，??AME=60°.

，ME?BD且AM、ME是平面AME内两条相交于点M的直线， AM?BD?BD?平面AEM，

AE?平面AEM，?BD?AE.…………………（4分）

1BD?1， 2AB?AD?2，DB?2，?△ABD为等腰直角三角形，?AM?在△AME中，由余弦定理得：AE2?AM2?ME2?2AM?ME?cos?AME，?AE?3，2?AE2?ME2?1?AM2，?AE?ME，BDME?M，B?D平面B，DC?M平面E

， B?AE?平面BDC.………………………………………（6分）

（2）如图5，以M为原点，MB所在直线为x轴，ME所在直线为y轴，平行于EA的直

线为z轴，建立空间直角坐标系，…………………（7分） 1??则由（Ⅰ）及已知条件可知B(1，0，0)，E?0，，0?，

2???13?A?0，，0，0)，C(?1，1，0). ???，D(?1，22???13??1，?，?则AD?????，CD?(0，?1，0)，……（8分） 22????AD?0，??x?1y?3z?0，?n·??设平面ACD的法向量为n=(x，y，z)，则? 22CD?0???y?0，?n·?图5

令x?3，则z=-2，?n?(3，0，?2)，…………………………………（10分） ?3?记AE与平面ACD所成的角为?，AE???0，0，2??，

??则sin??|n?EA|?|n||EA|3(3)2?0?(?2)2?32?27. ………………（12分） 720．解：（1）当x?0时，sgn(x)?1，解方程x2?3x?1?1，得x?3（x?0不合题意舍去）；

当x?0时，sgn(x)?0，0不是方程x2?3x?1?0的解；

当x?0时，sgn(x)??1，解方程x2?3x?1??1，得x?1或x?2（均不合题意舍去）。 综上所述，x?3是方程x2?3x?1?sgn(x)的根。 ……6分

?x2?3x,?x2?2x,x?2x?2????（2）由于函数f(x)???x2?2x,0?x?2，则原方程转化为：a???x2?x,0?x?2。

?2?2?x?2x,x?0x?0?????x?3x,数形结合可知：

①当a??2时，原方程有1个实根； ②当a??2时，原方程有2个实根；

③当?2?a?0时，原方程有3个实根； ④当a?0时，原方程有4个实根； ⑤当0?a?时，原方程有5个实根； ⑥当a?时，原方程有4个实根； ⑦当?a?时，原方程有3个实根； ⑧当a?时，原方程有2个实根； ⑨当a?时，原方程有1个实根。

故当a?(?2,0)(,)时，关于x的方程f(x)?x?a有3个互异的实根。……12分

21

．

解

：

（

1

）

19449494149414-3y2.250.251O-223x141 设公比为q，S1,S3,S2成等差,?2S3?S1?S2,?2a1(1?q?q2)?a1(2?q),得q=-，23又a1+a4=a（=-11+q）711，?a1=-，所以an?a1qn?1?(?)n…………5分 1622?n?2n

（2）

b1bn?n,an?(?)n,?n?n?2n， ?Tn?1?2?2?22?3?23?2an2Tn?1?22?2?23?3?24???Tn?2?22?23???(n?1)?2n?n?2n?1

?2n?n?2n?1

2?2n?1?n?2n?1)?(n?1)?2n?1?2 …………8分 ?Tn??(1?22若(n?1)?m(Tn?n?1)对于n?2恒成立，则(n?1)?m[(n?1)?22n?1?2?n?1]，

(n?1)2?m(n?1)?(2n?1?1)，?m?n?1，

2n?1?1nn?1(2?n)?2n?1?1n?1?n?1?n?2?0 令f(n)?n?1，f(n?1)?f(n)?n?2n?12?12?1(2?1)(2?1)2?1所以f(n)为减函数， ?f(n)?f(2)? ?m?171…………12分 71a?bx2?x?a22．解：（1）f'(x)??b?2? f'(1?)?b?1?a? 02xxx∴a – b = - 1，当a = -2时b = -1 …………………4分

12x2?x?2(x?2)(x?1)2?(x?0) f(x)?lnx?x?，f?(x)??2?1?xxx2x2x?f(x)在?0,1?上单调递减，在?1,???上单调递增

+??内有唯一极小值，也就是f(x)在?0，+??内的最小值 ?f(x)在?0，?f(x)min=f(1)=3 …………………6分

（2）由（1）知?f(x)min=f(1)=3且f(x)在?0,1?上单调递减，

0?n?1 n?1?f(

nn?2nn2(n?1)n??0 )?ln???f(1)=3，∴lnn?1n(n?1)n?1n?1nn?1nnn(n?1)1n?2??(n?2) ∴()?() ………………（12分） n?1n?1e∴n(n?1)ln