离散数学最全课后答案（屈婉玲版）(7)

离散数学习题解

A??=?,

A?{{?}}={?{?},??}, A[{{?}}]=??

31

7.16.设 A={a,b,c,d}, R1,R2 为 A 上的关系, 其中

R1={?a,a?,?a,b?,?b,d?} R2={?a,d?2 ,?b,c?,?b,d?,?c,b?} 3

求 R1○R2, R2○R1,R1 ,R2 .

R1○R2={?a,a?,?a,c?,?a,d?}, R2○R1={?c,d?}, 2R 1 ={?a,a?,?a,b?,?a,d?}, 3R 2 ={?b,c?,?b,d?,?c,b?}

7.17.设 A={a,b,c}, 试给出 A 上两个不同的关系 R1 和 R2,使得 R1 =R1, R2 =R2.

R1={?a,a?,?b,b?}, R2={?b,c?,?c,b?}

7.18.证明定理 7.4 的(1), (2), (4).

2

3

(1) F○ (G∪H)=F○G∪F○H

任取?x,y?,

?x,y?∈F○ (G∪H)

??t(?x,t?∈F??t,y?∈G∪H)

??t(?x,t?∈F??(?t,y?∈G??t,y?∈H))

??t((?x,t?∈F??t,y?∈G) ??(?x,t?∈F??t,y?∈H)) ??t(?x,t?∈F??t,y?∈G) ??t(?x,t?∈F??t,y?∈H)) ??x,y?∈F○G??x,y?∈F○H ??x,y?∈F○G∩F○H 所以有 F○ (G∩H)??F○G∩F○H.

(2) (G∪H) ○F=G○F∪H○F 任取?x,y?,

?x,y?∈(G∪H) ○F

??t(?x,t?∈(G∪H) ??t,y?∈F)

??t((?x,t?∈G??t,y?∈H) ??t,y?∈F))

??t((?x,t?∈G??t,y?∈F) ??(?x,t?∈H??t,y?∈F)) ??t(?x,t?∈G??t,y?∈F) ??t(?x,t?∈H??t,y?∈F)) ??x,y?∈G○F??x,y?∈H○F ??x,y?∈G○F∪H○F

(4) (G∩H) ○F?G○F∩H○F 任取?x,y?,

?x,y?∈(G∩H) ○F

??t(?x,t?∈(G∩H) ??t,y?∈F)

??t((?x,t?∈G??t,y?∈H) ??t,y?∈F))

??t((?x,t?∈G??t,y?∈F) ??(?x,t?∈H??t,y?∈F)) ??t(?x,t?∈G??t,y?∈F) ??t(?x,t?∈H??t,y?∈F)) ??x,y?∈G○F??x,y?∈H○F ??x,y?∈G○F∪H○F

7.19.证明定理 7.5 的(2), (3).

(2) F[A∪B]=F[A]∪F[B]

任取 y,

离散数学习题解

y∈F[A∪B]

??x(?x,y?∈F?x∈A∪B) ??x(?x,y?∈F??(x∈A?x∈B))

??x((?x,y?∈F?x∈A) ??(?x,y?∈F?x∈B)) ??x(?x,y?∈F?x∈A) ??x(?x,y?∈F?x∈B) ?y∈F[A] ?y∈F[B] ?y∈F[A]∪F[B] 所以有 F[A∩B]=F[A]∪F[B].

(3) F? (A∩B) ?F?A∩F?B

任取?x,y??

?x,y?∈F? (A∩B) ??x,y?∈F?x∈(A∩B) ??x,y?∈F??(x∈A?x∈B)

??(?x,y?∈F?x∈A) ??(?x,y?∈F?x∈B) ??x,y?∈F?A??x,y?∈F?B

??x,y?∈F?A∩F?B 所以有 F? (A∪B) ?F?A∩F?B.

32

7.20.设 R1 和 R2 为 A 上的关系, 证明:

(1)(R1∪R2) ?1=R1 ∪R2

(2)(R1∩R2) ?1=R1 ∩R2

?1 ?1 ?1

?1 ?1

(1)(R1∪R2) ?1=R1 ∪R2

任取?x,y??

?x,y?∈(R1∪R2) ?1 ??y,x?∈(R1∪R2) ??y,x?∈R1??(y,x)∈R2) ?1

?1

??x,y?∈R1 ?1 ??x,?y1 ?∈R2 ??x,y?∈R1 ??R1 2 ?1

?1

所以(R1∪R2) =R1 ∪R2

(2)(R1∩R2) ?1=R1 ∩R2

?1

?1

?1

任取?x,y??

?x,y?∈(R1∩R2) ?1 ??y,x?∈(R1∩R2) ??y,x?∈R1??(y,x)∈R2) ?1

?1

??x,y?∈R1 ?1 ??x,?y1 ?∈R2 ??x,y?∈R1 ?R2

所以(R1∪R2) ?1=R1 ∩R2

7.21.略 7.22.略 7.23.略 7.24.略 7.25.略 7.26.略 7.27.略 7.28.略 7.29.略 7.30.略 7.31.略 7.32.略 7.33.略 7.34.略 7.35.略 7.36.略 7.37.略 7.38.略 7.39.略 7.40.略

?1 ?1

离散数学习题解

7.41.略 7.42.略 7.43.略 7.44.略 7.45.略 7.46.略 7.47.略 7.48.略 7.49.略 7.50.略

33

离散数学习题解 34

习题八

8.1. 1 设 f: ???, 且

?1 ?f (x) ???? ??x 2 ??若x为奇数 若x为偶数

求 f(0), f({0}), f(1), f({1}), f({0, 2, 4, 6, …}), f({4, 6, 8}), f({1, 3, 5, 7})

f(0) = 0,

f({0}) = {f(0)} = {0},

f(1) = 1, f({1}) = {f(1)} = {1},

f({0, 2, 4, 6, …}) = {f(0), f(2), f(4), f(6), …} = {0, 1, 2, 3, …} = ?, f({4, 6, 8}) = {f(4), f(6), f(8)} = {2, 3, 4}, f({1, 3, 5, 7}) = {1, 1, 1, 1} = {1}. 8.2. 2.设 A={1, 2}, B={a, b, c}, 求 BA.

BA={f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7, f8, f9}

f1 = {?1, a?, ?2, a?}, f2 = {?1, a?, ?2, b?}, f3 = {?1, a?, ?2, c?}, f4 = {?1, b?, ?2, a?}, f5 = {?1, b?, ?2, b?}, f6 = {?1, b?, ?2, c?}, f7 = {?1, c?, ?2, a?}, f8 = {?1, c?, ?2, b?}, f9 = {?1, c?, ?2, c?}.

8.3. 3.给定函数 f 和集合 A, B 如下: (1) f: R?R, f(x)=x, A={8}, B={4} (2) f: R?R+, f(x)=2x, A={1}, B={1, 2}

(3) f: N?N?N, f(x)= ?x, x+1}, A={5}, B={?2, 3?} (4) f: N?N, f(x)=2x+1, A={2, 3}, B={1, 3} (5) f: Z?N, f(x)=|x|, A={?1, 2}, B={1}

(6) f: S?S, S=[0, 1], f(x)=x/2+1/4, A=(0, 1), B=[1/4, 1/2] (7) f: S?R, S=[0, +∞), f(x)=1/(x+1), A={0, 1/2}, B={1/2} (8) f: S?R+, S=(0, 1), f(x)=1/x, A=S, B={2, 3}. 对以上每一组 f 和 A, B, 分别回答以下问题: (a) f 是不是满射, 单射和双射的?如果 f 是双射的, 求 f 的反函数. (b)

-1

求 A 在 f 下的像 f(A)和 B 在 f 下的完全原像 f(B).

8.4. 4.判断下列函数中那些是满射的? 哪些是单射的? 哪些是双射的? (1) f: ???, f(x) = x2 + 2

(2) f: ???, f(x) = (x)mod 3, x 除以 3 的余数.

?1 (3) f: ???, f (x) ????

?0

?0 ?1

若x为奇数 若x为偶数

若x为奇数 若x为偶数

(4) f: ??{0, 1}, f (x) ????

(5) f: ??{0}?R, f(x)=log10x (6) f: R?R, f(x)=x2?2x?15

离散数学习题解

(1)单射, ∵ f(x) = x2 + 2 在?上是单调的. 不是满射, ∵ ?x??, f(x) = x2 + 2 ??0.

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(3)不是单射的, ∵ f(0) = f(2) = 0. 不是满射的, ∵ ?x??,

?0 f (x) ?

???1

若x为奇

??2.

数 若x为偶数

(5)是单射的, ∵ f(x)=log10x 在?上是单调的. 不是满射的, ∵ ?x??, f(x)=log10x ??2.

8.5. 设 X = {a, b, c, d}, Y = {1, 2, 3}, f = {?a, 1?, ?b, 2?, ?c, 3?}, 判断以下命题的真假 (1)f 是从 X 到 Y 的二元关系, 但不是从 X 到 Y 的函数; (2) f 是从 X 到 Y 的函数, 但不是从满射, 也不是单射 (3) f 是从 X 到 Y 的满射, 但不是从单射; (4) f 是从 X 到 Y 的双射. 8.6. 对于给定的 A, B 和 f, 判断 f 是否为从 A 到 B 的函数 f : A ??B. 如果是, 说明 f 是否为单射, 满射, 双射的. 2 (1)A = ?, B = ?, f (x) = x+ 1. (2)A = ?, B = _, f (x) = 1 ??x. (3) A = ???, B = _, f (?x, y?) = x ??(y+1).. (4)A = {1, 2, 3}, B = {p, q, r}, f = {?1, q?, ?2, q?, ?3, q?}. (5)A = B = ?, f (x) = 2x. (6) A = B = \\?\\, f (?x, y?) = ?y + 1, x + 1?. (7) A = ???, B = ?, f (?x, y?) = x2 + 2y2. (8) A = B = \\, f (x) = 1 x ??1 . (9) A = ???, B = ? …… 此处隐藏：4023字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……