离散数学最全课后答案（屈婉玲版）(10)

离散数学习题解

(1) G 上的二元运算为矩阵乘法,给出 G 的运算表 (2) 试找出 G 的所有子群 (3) 证明 G 的所有子群都是正规子群.

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将 G 中矩阵依次记为 A,B, ?B, ?A.

? A

(1)运算表为 B A A B B ?B ??A B ?B ??A A ??A ?B

A B

B A

?B ?B ??A ??A ??A ?B

(2)子群: {A}, {A, ?A}, {A, ?B}, {A,B}, G (3)G 是 Abel 群, 所有的子群都是正规的.

11.27. 11.28. 11.29.

略 略 令 G={?,+}是整数加群. 求商群?/4?,?/12?和 4?/12?. ?/4?={4?,4?+1,4?+2,4?+3} (4?+a)+(4?+b)=4?+(a+b)mod 4

?/12?={12?,12?+1,12?+2,12?+3,…,12?+11} (12?+a)+(12?+b)=12?+(a+b)mod 12 4?/12?={12?,12?+4,12?+8} (12?+a)+(12?+b)=12?+(a+b)mod 12

11.30. 对以下各小题给定的群 G1 和 G2 以及 f:G1?G2,说明 f 是否为群 G1 到 G2 的同态. 如果是,说明 G 是否为单同态,满同态和同构,并求同态像 f(G1)和同态核 kerf. (1) G1=??,+ ?,G2=?\\*,·?,其中\\*为非零实数的集合,+和·分别表示数的加法和乘法.

f: ??\\*, f(x)= ??

??1 x是偶

数 x是??1

奇数

(2) G1=??,+ ?,G2=?A,·?,其中+和·分别表示数的加法和乘法

A={x|x∈??|x|=1},其中?为复数集合.

f: ??A,f(x)=cosx+i sinx

(3) G1=?\\,+ ?,G2=?A,·?,+和·以及 A 的定义同(2).

f: \\?A,f(x)=cosx+i sinx (1)同态,不是单同态,也不是满同

态. 同态像为{?1,1},同态核为 2?.

(2)同态,单同态,不是满同态,同态像为{cosx+i sin x|x∈?},同态核为{0}. (3)同态,满同态,不是单同态,同态像为 A,同态核为{2kπ|k∈?}.

11.31. 11.32.

略

设?是群 G1 到 G2 的同构,证明??1 是 G2 到 G1 的同构.

易见???1 为 G2 到 G1 的双射函数. 任取 G2 中的元素 x,y,存在 G1 中元素 a,b 使得??(a)=x, ??(b)=y.因此, ?1?1?1

??(xy)= ??(??(a)??(b)) = ??(??(ab))=ab=???1(x)???1(y) 从而证明了???1 为同构.

11.33.

略

离散数学习题解

11.34.

设 G1 为循环群,??是群 G1 到 G2 的同态,证明??(G1)也是循环群.

47

设 G1=?a?, 任取??(G1)的元素 x, 存在 ai∈G1,使得??(ai)=x.

x = ??(ai) = (??(a))i

这证明了??(a)为??(G1)的生成元. 11.35. 设 G=?a?是 15 阶循环群.

(1) 求出 G 的所有的生成元. (2) 求出 G 的所有子群.

(1)生成元: a,a2,a4,a7,a8,a11,a13,a14

(2)子群: ?a?, ?a3?={e,a3,a6,a9,a12}, ?a5?={e,a5,a10}, G

11.36.

??1 2 3 4 5? ?1 2 3 4 5 ??????? ??, ????? ??

??2 1 4 5 3? ??3 4 5 1 2 ??

?1?1?1

(1) 计算??,??,?, ?, ????

(2) 将??,??1, ??1??表成不交的轮换之积.

(3) 将(2)中的置换表示成对换之积,并说明哪些为奇置换,哪些为偶置换.

设?,?是 5 元置换,且

??1 2 3 4 5????????

? 2 5, 4 3 1 ?? ??

? 1 2 3 4 5???????????

? 4 5 3 2 1?? ?1 ? 2 3 4 5 ??

??(1) ??1??? 1 5 3 4 ?? ? 1 2 3 4 5

?????1

??? 5 1 2 ??

? 43??

??1 2 3 4 5 ?????1???????5 4 1 3 2

? ?

??????1423??

??

(2)

???1 ???14253?????1??????15243????????14??12??13??

(3)

???1 ???14??12??15??13?????1??????15??12??14??13??

??为奇置换, ??1, ??1??为偶置换.

11.37.

*证明群中运算满足消去律

任取 G 中元素 a,b,c,若 ab=ac,则有

?1

a(ab)=a?1(ac)

即 (a?1a)b=(a?1a)c,从而有 b=c. 同理可证右消去律的成立. 11.38.

*设 G 是有限群, K 是 G 的子群, H 是 K 的子群,证明[G:H]=[G:K][K:H].

由拉格朗日定理有

|G|=[G:K]|K|, |K|=[K:H]|H|,

代入得

|G|=[G:K][K:H]|H|

再根据拉格朗日定理有 |G|=[G:H]|H|, 比较两个等式, 命题得证.

离散数学习题解 48

习题十二

12.1.设 A={a+bi|a,b∈?,i2 = ?1}, 证明 A 关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环.

12.2.略

12.3.(1) 设 R1,R2 是环,证明 R1 与 R2 的直积 R1×R2 也是环.

(2) 若 R1 和 R2 为交换环和含幺环,证明 R1×R2 也是交换环和含幺环. 12.4.判断下列集合和给定运算是否构成环, 整环和域,如果不能构成,说明理由.

(1) A={a+bi|a,b∈?},其中 i2= ?1,运算为复数的加法和乘法. (2) A={?1,0,1},运算为普通加法和乘法.

(3) A=M2(?),2 阶整数矩阵的集合, 运算为矩阵加法和乘法. (4) A 是非零有理数集合 Q*,运算为普通加法和乘法. 12.5.略

12.6.略

12.7.略

12.8.证明定理 12.1(3)

离散数学习题解 49

习题十三

13.1.

1.图 13.9 中给出 6 个偏序集的哈斯图.判断其中哪些是格. 如果不是格, 说明理由.

d

f d c b a (b) (c) e d f e

c b a (a) g f d e b a c

f d d c e b b f e

c a (f) b a

c a (d) (e)

13.9 图

(a), (c), (f)是格. (b)中的{e, d}没有最大下界. (d)中的{d, e}没有最大下界. (e)中的{a, b}没有最大下界.

13.2.2.下列各集合对于整除关系都构成偏序集, 判断哪些偏序集是格.

(1) L = {1, 2, 3, 4, 5} (2) L = {1, 2, 3, 6, 12}

(3) L = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} (4) L = {1, 2, 22, ..., 2n}, n??+ (1)不是格, 其他都是.

13.3.3. (1)群??12, ??的子群格.

(2)画出 3 元对称群 S3 的子群格. 见答图.

离散数学习题解 50

?12

S3

?2?? ?3??

?(12)??

?4??

?(123)???(23)???(13)??

?6??

?0??(1)

?(1)??

(2)

第 3 题答图

13.4.4.设 L 是格, 求以下公式的对偶式:

(1) a??(a?b)? a

(2) a??(b?c) ? (a?b) ??(a?c)

(3) b??(c?a) ? (b?c) ?a. (1) a?(a?b) “a

(2) a??(b?c) “ (a?b) ??(a?c) (3) b??(c?a) “ (b?c) ?a

13.5.5.设?为集合 S 上可交换, 可结合的二元运算, 若 a, b 是 S 上关于?运算的幂等元, 证明 a?b 也是关于?运

算的幂等元. 证

a ??b = b ??c

(a ??b) ??(a ??b) = ((a ??b) ??a) ??b = (a ??(a ??b)) ??b = ((a ??a) ??b) ??b = (a ??a) ??(b ??b) = a ??b.

13.6.6.设 L 是格, a, b, c?L, 且 a ? b ? c, 证明

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