普通高中数学课程标准(10)

当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。

3. 通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。

4. 了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）。

5. 通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上，并说明理由，由此理解球面三角形的全等定理s.s.s，s.a.s，a.s.a。

6. 理解单位球面三角形的面积公式（ ），由此体会球面三角形内角和大于180°。 7. 了解球面三角形全等的a.a.a定理。

8. 利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。

9. 利用向量的叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（ ）和球面上的勾股定理（即当 时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理 。

10. 体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。 11. 初步了解另一种非欧几何模型——庞加莱模型。

12. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，说明球面几何与平面几何中哪些公式（定理）是相同的，哪些公式有本质差异；说明为什么相对于半径来说很小的一小片球面可以作为一个平面来对待。（2）通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步思考几何与现实空间的关系。（3）学习球面几何的感受、体会。

说明与建议

1. 本专题的重点是培养学生空间想像和几何直观能力。

2. 教学中应使学生切实地感受利用球面几何知识可以解决（或解释）生活或生产中的一些实际问题。在介绍球面几何时，让学生通过欧氏平面几何和球面几何的类比，得到球面几何的相关结论，促使学生思考平面几何模型与球面几何等非欧几何模型的差异。

3. 介绍球面几何与欧拉公式，主要是为了开拓学生的数学视野，使学生了解一些非欧几何模型，对学生掌握现代数学思想方法有很大帮助。

4. 球面几何涉及到大量的空间图形的对称性（变换），在条件允许的学校，教学中可以充分利用（CAI）多媒体技术。

对 称 与 群

对称是自然界一种十分重要的性质，像轴对称、中心对称。群是刻画对称性的数学概念，群论是现代数学的重要研究对象。

学生将从丰富的平面图形对称变换的实例入手，了解变换群的概念，学习群的表达方法，学会求出一

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些比较简单的几何图形的对称群，并进一步体会群在研究事物对称性质和研究其他数学对象中的重要作用。

内容与要求

1. 通过丰富的对称图形，感受日常生活和现实世界中存在着大量对称现象。 2. 了解刚体运动的基本性质。

3. 通过分析图形的不同对称性和刚体运动，寻求刻画不同图形对称性的思想，逐步形成图形对称变换的概念。

4. 结合简单的具体图形，找出其所有对称变换。

5. 结合具体的图形实例，逐步形成对称变换合成的概念，理解对称变换合成的封闭性。 6. 结合具体的图形实例，通过操作认识对称变换满足结合律。

7. 结合具体的图形实例，通过操作，理解恒等变换的概念，逆变换的概念及其性质，针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。

8. 通过具体实例，建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念。

9. 能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。 10. 通过具体实例，了解一种群的表示方法——乘法表法。

11. 从具体的实例入手，了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法——直积。 12. 了解群论在现实生活中的重要应用，如晶体分类定理。

13. 考察其他形式的对称变换，如代数式。通过二次、三次方程的求解过程，了解代数方程根的对称群的含义，并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实，感受群论在现代数学中的重大作用。

14. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对对称的数学描述和群的概念的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨对称在自然界中的广泛性和群对刻画对称的作用。（3）学习本专题的感受、体会。

说明与建议

1. 由于对称变换、变换的合成（乘法）运算等概念是比较抽象的概念，因此学习过程都应从具体的实例和恰当的情境引入，而不能从抽象的定义出发。

2. 对于中学生来说，群是一个全新的学习对象。对称变换群是把对称变换作为一个运算系统来研究，与过去所学习的数与代数式的运算系统有很大的区别。因此本专题只能以比较简单的具体的群为例。教学的重点在于使学生了解群在刻画对称性中的作用，而尽量避免论述群的抽象定义和性质。同时要求学生能通过具体的几何图形的分析，学会求出一些简单几何图形的对称群，在操作实践过程中感受群的含义。

3. 晶体分类与方程的伽罗瓦理论是群论的两项重大应用成果，在本单元不能详细证明晶体分类定理

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和方程的伽罗瓦定理，但向学生介绍这两项成果可以使学生感受现代数学的研究方法和特点，因此做好这种介绍性工作也是本单元的教学目标之一。

欧拉公式与闭曲面分类

使用变换对几何图形进行分类，是几何学的重要内容，揭示在不同变换下几何图形的不变性质或不变量是研究这类问题的基本思想方法。本专题主要讨论欧拉公式和欧拉示性数等重要的拓扑不变量，并利用它们对曲线、曲面进行分类。

内容与要求

1. 复习已学过的变换，并使用它们对平面图形分类

（1）复习平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、伸缩、相似变换，以及对平面图形分类。 （2）在上述变换下，探索什么几何性质是不变的。 （3）体会变换的一些基本特征：1－1对应，连续。 2. 欧拉公式

（1）通过探索发现欧拉公式的过程，理解欧拉公式。 （2）理解欧拉公式的拓扑证明。

（3）使用欧拉公式解决一些问题（如探索正多面体的个数）。 （4）探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。 3. 理解曲面三角剖分的概念。

4. 会对一些曲面进行三角剖分，并能计算它们的欧拉示性数。 5. 了解拓扑变换的直观含义。

6. 知道一些拓扑不变量，并能用它们对一些曲线、闭曲面进行分类，了解一些曲线、闭曲面的分类结果。

7. 了解拓扑思想的一些应用（如平面布线问题、一笔画问题、布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题、四色问题）。

8. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。本专题整体结构和内容的理解，以及对数学变换思想的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步理解变换的不变量和曲面分类的思想。（3）学习本专题的感受、体会。

说明与建议

1. 这部分内容比较抽象，首先要复习中学阶段学过的几何变换以及分析在这些变换下不变的几何性质，并由此体会变换和变换不变量的思想。

2. 引导学生探索发现欧拉公式的过程，以及对欧拉公式证明的理解，帮助学生体会数学家的创造性

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工作，这是一个非常好的范例。

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