09届高考理科数学4月份模拟考试试题(2)

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? P 1 2 3 4 2 31 61 91 18????..10

分

211114E??1??2??3??4?? ?????.??..12

369189分

17、（本小题满分12分）

解：（1）方法一：在?ABC中，有sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC 由正弦定理得：a?bcosC?ccosB 又bcosC?a?1c, 2B? ?cos11c?0，即cosB?， 22又B为?ABC的内角，?B?方法二：由bcosC?a??3 …………………………..5分

11c,得sinBcosC?sinA?sinA?sinBcosC?cosBsinC 2211?即：sinC?cosBsinC,?sinC?0,?cosB? ?B?

223（2）由正弦定理得：a?bsinA2bsinC2?sinA,c??sinC………………..7分 sinBsinB33?l?a?b?c?1?22(sinA?sinC)?1??sinA?sin(A?B)? 33?1?

213(sinA?sinA?cosA)223?3?1?1?2?sinA?cosA?2?2?? ?1?2sin(A?) …………………………..10分

6

?B???2?,?A??0,3?3???5??,?A???,?6??66?? ???1??sin(A?)??,1?

6?2?于是l?1?2sin(A??6)??2,3?

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故?ABC的周长l的取值范围为?2,3?。 …………………………..12分 18、(本小题满分12分) 解：方法一：（1）证明：连结OC．

?BO=DO，AB=AD，?AO?BD．

?BO=DO，BC=CD，?CO?BD．

在?AOC中，由已知可得AO=1，CO=3， 而AC=2， AO+CO=AC，

222

…………………………..4分

，即AO?OC．?BD?OC=0，?AO?平面BCD． ??AOC=90°

（2）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，

由E为BC的中点知ME//AB，OE//DC．

?直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角． 在?OME 中,EM=

112 AB=，OE=DC=1， 222

1?OM是直角△AOC斜边Ac上的中线，?OM=AC=1，

2?cos?OEM=2． 2,?异面直线AB与CD所成角的大小为arccos44…………………………..8分

（3）设点E到平面ACD的距离为h．

11?VE-ACD=VA-CDE, ?h?S?ACD??AO?S?CDE

33在?ACD中，CA=CD=2，AD=2，1

?2?7?S?ACD??2?22?????2?22??而AO?1,S?CDE1?1323AO?S?CDE2?21 , ?h????2??242S?ACD7723?点E到平面ACD的距离为

21． ……………..…..12分 7方法二：（1）同方法一．

（2）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（一1，0，0），

????????13C（0，3,0），（0,0,l）,E（,，BA=（一1，0，1），CD（一1，一3，0）． ,0）

22????????????????BA?CD2， ?异面直线AB与CD所成角的大小为arccos2． ???????cosBA,CD????4|BA||CD|4

?（3）解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z)，

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??????n?AD??x,y,z?????1,0,?1??0,?x?z?0,则?， ?????????n?AC??x,y,z??0,3,?1?0,?3y?z?0.???令y=I，得n=(-3,1,3)是平面ACD的一个法向量．

??

??????n|321 又EC?(-1,3,0),?点E到平面ACD的距离h?|EC???227|n|719、（本小题满分13分）

解：（1）y???2ax，切线的斜率为?2at，?切线l的方程为y?(1?at2)??2at(x?t)

1?at21?at2?2at21?at2?t??令y?0,得x? …………………..3分 2at2at2at1?at2?M(,0),令t?0,得y?1?at2?2at2?1?at2,?N(0,1?at2)

2at11?at2(1?at2)22??MON的面积S(t)??(1?at)? …………………..6分

22at4at3a2t4?2at2?1(at2?1)(3at2?1)?(2) S?(t)? …………………..8分 224at4at?a?0,t?0,由S?(t)?0,得3at2?1?0,得t?1 3a当3at?1?0,即t?21时, S?(t)?0 3a1时, S?(t)?0 3a当3at?1?0,即0?t?2?当t?1时,S(t)有最小值 …………………..11分 3a1114?,?a? 处, S(t)取得最小值,故有233a2已知在t?故当a?41,t?时,S(t)min3241(1??)2134?2 …………………..13分 ?S()?41234??3220、（本小题满分13分）

解、（1）直线l1的方程为y?3x?23 ① …………………..2分

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过原点垂直于l1的直线方程为y??解①②得x?3x ② 33 2?椭圆中心O（0，0）关于直线l1的对称点在椭圆的右准线上，

a23??2??3 …………………..4分 c2?直线l1过椭圆的焦点，?该焦点的坐标为(2,0)

x2y2??1 …………………..6分 从而c?2,a?6,b?2 故椭圆C的方程为6222（2）设左特征点的坐标为M(m,0)，左焦点为F1(?2,0)，可设直线PQ的方程为x?y?2 kyx2y24y?1???1,消去x得?2?3?y2?由x??2与?2?0

k62k?k?又设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则

4k?2k2y1?y2?,y1?y2? ③ …………………..8分

1?3k21?3k2因为MF2为?PMQ的角平分线,所以kPM?kQM?0, 即:

y1y2??0 …………………..10分 x1?mx2?my1y?2与x2?2?2代入上式化简,得 kk将x1?2y1y2?2(y1?y2)?m(y1?y2)?0 ④ k将③代入④中,得

2?2k24k?()?(m?2)?()?0,得m??3 k1?3k21?3k2即左特征点为M(?3,0) …………………..13分 21、（本小题满分13分） 解：(1) an?1?3(an?1?1)a?2111?n?1?? ,?an?1?2an?13(an?1?1)an?1?13www.gaokao.com

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12?bn?bn?1?,b1?,??bn?为等差数列 …………………..3分

331n?1n?4(2)由(1)bn?b1?(n?1)??,从而an? ………………….6分

33n?1(n?4)(n?5)n2(3)c?9n?20n?3n?(n?1)(n?2)?n2?3n?2?1?6?n2?3n?2 ?c?3)n?1?6(nn2?3n?1?6n,Sn?n?6(1?12?13?...?1n) 当n?1时,S1?5,不等式的左边=7,不等式成立 当n?2时, S1n?n?6(1?2?13?...?1n) 故只要证1?12?13?...?1n?1?lnn(n?2), 如下用数学归纳法给予证明: ①当n?2时,ln2?12?ln2e?0,?n?2时,不等式成立; ②假设当n?k时,1?12?13?...?1k?1?lnk(k?2)成立 当n?k?1时, 1?11112?3?...?k?k?1?1?lnk?1k?1

只需证: 1?lnk?1k?1?1?ln(k?1),即证: lnk?11k?k?1令

1k?1?x??0,1?,则不等式可化为:ln11?x?x 即ln(1?x)??x,x?(0,1) 令f(x)?ln(1?x)?x,则f?(x)??11?x?1??x1?x?0 ?f(x)在(0,1)上是减函数

又f(x)在?0,1?上连续, ?f(x)?f(0)?0,故ln(1?x)??x

当x?1k?1时,有lnk?1k?1k?1

?当n?k?1时,所证不等式对n?2的一切自然数均成立

综上所述,Sn?n?6(1?lnn)成立.

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………………….8分 ………………….10分………………….13分