求最大公因数和最小公倍数的方法

一、教材分析

苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。而且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。只有这些都能够熟练地掌握，学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。所以这单元应该多用一到两课时。我在上这单元时，我是这么教学的： 二、教学思路

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（一）用一课时复习相关的概念

整除：整数A除以整数B，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说A能被B整除。如15÷3=5，15、3、5都是整数而没有余数，我们就说15能被3整除。在此基础上再来复习倍数与因数的概念：如果A能被B整除，我们就说A是B的倍数，B是A的因数。在这里还要强调说明一点，倍数和因数是相互依存的，不能独立存在；我们只能说谁是谁的倍数或谁是谁的因数，不能单独说谁是倍数或谁是因数。如：15÷3=5正好能够整除，我们就可以说15是3的倍数，也可以说3是15的因数。掌握了倍数与因数的概念后，同学们就要能够正确地判断出谁能被谁整除，而这里能不能整除同学们不是一下都能很快判断出来的，这里要掌握质数（即素数）与合数的概念，还要能记住100以内所有的质数，掌握能被2、3、5整除的数的特征。

质数：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。 合数：一个数除了1和它本身两个因数外，还有别的因数，这样的数叫作合数。

100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

（1） 能被2整除的数的特征是：末位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。（2）能被3整除的数的特征是：这个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数就能被3整除。（3）能被5整除的数的特征是：这个数的末位上是0或5，这个数就能被5整除。这些概念环环紧扣，有一个环节掌握不好，都会直接影响到对下面的学习。于是我

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用了一节课的时间复习这些概念，这些内容看起来很多，但它都是学生以前学习过的知识，所以只要再次说一下学生便会很快地回忆起来。

（二）用一课时教学求两个数的最大公因数

我在求两个数的最大公因数和最小公倍数时，先把后面的“你知道吗”里最大公因数和最小公倍数的符号表示法及短除法穿插在前面讲解，并且加入了另外的方法，即求最大公因数时，我加入了单一列举法、小数缩小法、除法算式法、分解质因数法；在求最小公倍数时，我加入了大数翻倍法、分解质因数法、单一列举法；而书中的例题时，并没有把它当作重点来讲解，只是一带而过，因为书本上的那列举法虽然学生学生一看就懂，但是太繁琐。

如，求18和32的最大公因数 先找出18和48这两个数的所有因数 ：

18的因数有：1、2、3、6、9、18 ；

48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 ； 再从这两个数的因数中找出两个数的公因数，18和48的公因数有：1、2、3、6 ；

最后从公因数中找出18和48的最大的公因数是6。

你看只是求这18和48这两个数的最大公因数，学生就写了数字与汉字40多个字，要是再加上标点符号就有60多个字。多么繁琐！所以我在教学时，并不提倡学生用这种方法来求两个数的最大公因数和最小公倍数。我给学生讲解求最大公因数的方法是：

1、 判断是否存在特殊情况：

（1）倍数关系的两个数，小数是这两个数的最大公因数，。（如；

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6和12的最大公因数是6）

2）互质关系的两个数，最大公因数是１。（如，5和7的最大公因数时1）

2、一般情况：求最大公因数的方法有：短除法、分解质因数法、除法算式法、小数缩小法、单列举法。

①短除法2 18 ： 48 3 9 24

3 8

短除号

是18和48的公因数，用它分别除18、48，得到商分别是9，24； 是9与24的公因数，用它分别除9、24，得到的商分别是3，8。 一直除到所得的商是互质数为止，最后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两数的最大公因数：（18，48）=2×3=6

②分解质因数法：将这两数分别写成质因数相乘的形式，然后将这两数公有的质因数连乘起来，所得到的积就是这两数的最大公因数。

18 =2×3×3 48 =2×2×2×2× 3 18和48公有的一个因数3， 18和48公有的另一个公因数3

（18，48）=2×3=9

③除法算式法： 用这两个数18和48同时除以公因数，除到最大公因数为止。

18 ÷ 48

1 2 （18，48）=6 3 6 4

④小数缩小法：把较小的数缩小（除以2开始）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。

如：求18和48的最大公因数

先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么（18，48）=6

⑤单列举法：一般是看哪个数的因数少，就先找出哪个数的因数，再看这个数的因数中哪些也是另一个数的因数，即这两个数的公因数，再从它们的公因数中找出最大的一个，就是这两个数的最大的公因数。

如，求18和27的最大公因数

先看18和27这两个数哪个因数少，这两个数除1和本身两个因数外，18=2×9=3×6，27=3×9所以27的因数少，（前面这些只要学生观察一下便可以看出，不用写出来。）因此先找出27的因数：1、3、9、27

再看这些因数中哪些又是另一个数18的因数，即18和27的公因数；18与27的公因数是：1、3、9；

最后从公因数中找出最大的一个，既（18，27）=9。 （三）用一课时教学求两个数的最小公倍数的方法 求两个数最小公倍数的方法是： 1、 判断是否存在特殊情况：

（1）倍数关系的两个数，较大的数是这两个数的最小公倍数。（如：6和12最小公倍数是12）

（2）互质关系的两个数，最小公倍数是它们的乘积。（如，3和7的最小公倍数是21）

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