一元二次方程的解法(4)

③ ④

⑤ ⑥

⑦ 分析：

要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。 ⑴ 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式

求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如①，可以直接开平方，

就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。

⑵ 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。可以利用用配方法来解，经过配方之后得到

，显得很简单。

⑶ 直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。

⑷ 因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。

解：①

两边开平方，得

所以

②

配方，得

所以

所以

③

配方，得

所以

所以

④

因为

所以 =4＋20=24

所以

所以

⑤

配方：

所以

所以

⑥

整理，得

所以

⑦

移项，提公因式，得

所以小结：

以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。

例3、已知关于x的方程ax－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.

2

解：当a=0时，原方程有实根为

若a≠0时，当原方程有两个实根.

故，综上所述a的取值范围是小结：

.

此题要分方程ax－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．

2

例4、已知一元二次方程x－4x＋k=0有两个不相等的实数根.

2

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x－4x＋k=0与x＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.

2

2

解：(1)因为方程x－4x＋k=0有两个不相等的实数根，

2

所以b－4ac=16－4k>0，得k<4.

2

(2)满足k<4的最大整数，即k=3.

此时方程为x－4x＋3=0，解得x=1，x=3.

2

1

2

①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；

②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得

所以m的值为0或

例5、设m为自然数，且3

有两个整

解：，

∵方程有整数根，

∴4（2m＋1）是完全平方数。 ∵3

解得x=2或x=8

当m=12时方程为 解得x=26或x=16

当m=24时方程为总结：

解得x=52或x=38

本题先由整数根确定2m＋1是完全平方数，再由3