一元二次方程的解法(3)

C。

另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。

2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。

评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。

3．（辽宁省）方程的根为（ ）

（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1

评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、

B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。

4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。

评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。

5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ）

（A）x=3+2 （B）x=3-2

（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2

评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方

根，即可选出答案。

课外拓展

一元二次方程

一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二

次的整式方程。 一般形式为

ax2+bx+c=0, (a≠0)

在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它

的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次

方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。

埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。

在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。

希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中

之一。

公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公

式。

在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种

不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成

不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次

给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的

1、一元二次方程的求根公式

将一元二次方程ax＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b－4ac≥0时的根为

2

2

．

该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．

说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax＋bx＋c=0(a≠0)；

2

(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；

(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.

2、一元二次方程的根的判别式

（1）当b－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根

2；

（2）当b－4ac=0时，方程有两个相等的实数根

2；

（3）当b－4ac＜0时，方程没有实数根．

2

二、重难点知识

1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“多余的了。

”类型的题目，如果用“公式法”就显得

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程

；用因式

分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为

，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有

实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

(≥0)求值，

2、在运用b－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：

2

（1）b－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b－4ac；

2

2

（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；

（3）根的判别式是指b－4ac，而不是

2

三、典型例题讲解 例1、解下列方程：

(1)；

(2)；

(3).

分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

解：(1)因为a=1，，c=10

所以

所以

(2)原方程可化为

因为a=1，，c=2

所以

所以.

(3)原方程可化为

因为a=1，，c=－1

所以

所以；

所以总结：

．

(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；

(2)用求根公式法解方程按步骤进行． 例2、用适当方法解下列方程：

① ②