北京交通大学信号与系统第四章典型例题(7)

由于

XR(ejΩ)?jXI(ejΩ)?1?0.5ejΩ(1?0.5e?jΩ)(1?0.5ejΩ)k?1?0.5cosΩ?0.5jsinΩ1?cosΩ?0.52

xe[k]?(x[k]?x[?k])/2?(???[k])/2?(y[k]??[k])/2

利用DTFT的对称特性 所以有

DTFTxe[k]????XR(ejΩ)

Y(ejΩ)?DTFT{2xe[k]??[k]}?2XR(ej?)?1?0.75

1?cos??0.25结论：

(1) 实序列x[k]的频谱X(ej?)的实部是?的偶函数，虚部是?的奇函数。 (2) 实偶对称序列y[k]的频谱Y(ej?)也是实偶对称函数。

|X(ej??|3?(?)?/4?2??2???0?2?????/40?2???

(a) 指数序列(0.7)u[k]的幅度谱 (b) 指数序列(0.7)u[k]的相位谱

k

k

结论：

序列的频谱是周期为2?的连续函数。实序列的幅度谱关于?偶对称，相位谱关于?奇对称。

【例4-4-5】试求下图(a)所示宽度为2M+1的矩形序列x[k]的频谱。 分析：

矩形序列满足绝对可和， 其DTFT存在，可以直接根据DTFT定义计算。 解：

由离散序列DTFT的定义，有

X(ej?)?k?????x[k]e?jk??k??M??e?M?j?kejM?(1?e?j(2M?1)?)sin[(M?1/2)?? ??j?sin(?/2)1?e图(b) 画出M=4时矩形序列的频谱。由于X(ej?)为实函数，因此没有分别绘制幅度谱和相

位谱。

x[k]?M0Mk(a) 矩形序列

X(ej??9?????0????(b) M=4时矩形序列的频谱

结论： 与连续信号的频谱类似，由于该矩形序列x[k]为实偶对称序列，故其频谱X(ej?)也为实偶对称函数。

【例4-5-1】已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)，试分别计算对下列信号抽样时，不混叠的最小抽样频率fsam。

(1) x(2t) (2) x(t)*x(2t) (3) x(t)?x(2t) (4) x(t)+x(2t) 分析： 先分别利用Fourier的展缩特性、卷积特性、乘积特性和线性特性确定出待抽样信号的最高频率，再利用抽样定理即可得到信号抽样时，不混叠的最小抽样频率fsam。 解：

根据Fourier的展缩特性，信号在时域的压缩对应其频谱在频域的扩展, 故信号x(2t)的最高频率为2fm(Hz)。

(1) 根据抽样定理，对信号x(2t)抽样时，最小抽样频率fsam=4fm(Hz)。

(2) 根据Fourier的卷积特性，信号在时域的卷积对应其频谱的乘积，故信号x(t)*x(2t)的最高频率为fm(Hz)，对信号 x(t)*x(2t)抽样时，最小抽样频率fsam=2fm(Hz)。

(3) 根据Fourier的乘积特性，信号在时域的乘积对应其频谱的卷积，故信号x(t)?x(2t)的最高频率为3fm(Hz)，对x(t)?x(2t)抽样时，最小抽样频率fsam=6fm(Hz)

(4) 根据Fourier的线性特性，信号在时域的相加对应其频谱的相加，故信号x(t)+x(2t)的最高频率为2fm(Hz)，对x(t)+x(2t)抽样时，最小抽样频率fsam=4fm(Hz)。

结论：

确定待抽样信号的最高频率，是计算抽样时频谱不混叠的最小抽样频率fsam或最大抽样间隔的关键。而确定待抽样信号的最高频率往往需要利用基本信号的频谱及Fourier的性质。 【例4-5-2】下图(a)所示系统中信号x(t)先经过理想低通滤波器进行限带，然后再经过A/D转换器转换为离散序列y[k]，试写出y[k]的频谱表达式，并画出其频谱。

x(t)H(j?)y(t)A/Dy[k]T(a)信号x(t)的抽样

X(j?)11

H(j?)0???m0?m?(b) 信号x(t)的频谱 (c)低通滤波器的频率响应

分析：

先利用非周期信号通过系统响应的频域分析，得到y(t)的频谱，再利用抽样信号频谱的特点即可写出y[k]的频谱表达式，并由此画出其频谱。 解： 由图可知

?X(j?) ???m Y(j?)?H(j?)X(j?)??0 其他?利用抽样信号频谱的特点，有

1Y(e)?TjΩn?????Y[j(??n?X[j(T?sam)],???T

1 ?Tn??????2πn)]H[j(??2πnT)]

若抽样频率满足?sam?2?m，则在[??,?]范围内，上式可表示为

??1?X(j) ???mT Y(e)??TT? 其他?0 j?y[k]的频谱如图(d)所示。

Y(ej?)1/T?????(d) y[k]的频谱

结论：

待抽样信号x(t)经过截止频率为?m的理想低通滤波器（抗混叠滤波器）后，其最高频率为?m，当抽样角频率满足抽样定理，即?sam?2?m时，则抽样后所得序列的频谱将不产生频谱混叠。