山东省威海市2012届高三第二次模拟考试 数学文科试题（2012威海(2)

a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2，15种情况；

------------------- 7分

其中至少有1个尺寸在［25.7，28..7）中的有：

a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b29种情况 ----------------------------- 10分

因此所求概率为

93? --------------------------------12分 15518．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）

11+cos2?x313?f(x)?sin2?x?3??sin2?x?cos2?x?sin(2?x?)，

222223-------------------------------------------3分

由题意知，最小正周期T?2??4??2，

T?2?????，所以??2， 2??2∴f(x)?sin(4x??3) -----------------------------------------6分

??个单位后，得到y?sin(4x?)的图象，再将所得图

68?象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y?sin(2x?)的图象.

6? 所以　g(x)?sin(2x?). -------------------------9分

6???5令2x??t，∵0?x?,∴??t??

6266???（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个

g(x)?k?0，在区间?0,?上有且只有一个实数解，即函数y?g(x)与y??k在区间

?2?11???上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或?k?1 0,???k???222?? ∴?11?k?或k??1. -------------------12分 221511得q?， q?16512219. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设{an}的公比为q，由a3a6?a2?q?∴an?a2?qn?2251?()n． ---------------------------------- 2分 2bn?log2a22?log2a22=lognn?1

1111??(?)(2n?1)(2n?1)22n?12n?111111111n∴Tn?(1??????． ?)?（1?)?23352n?12n?122n?12n?1-------------------------------------5分

（Ⅱ）

①当n为偶数时，由?Tn?n?2恒成立得，??即??(2n?1()2n?122?log1()2n?122(n?2)(2n?1)2?2n??3恒成立，

nn2?3)min， ----------------------------------6分 n22而2n??3随n的增大而增大，∴n?2时(2n??3)min?0，

nn∴??0； ----------------------------------8分

(n?2)(2n?1)2②当n为奇数时，由?Tn?n?2恒成立得，???2n??5恒成立，

nn2即??(2n??5)min， -----------------------------------9分

n而2n?222?5?22n??5?9，当且仅当2n??n?1等号成立， nnn∴??9． ---------------------------------------11分

综上，实数?的取值范围. ----------------------------------------12分 （-?，0）20．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO， ∵F,O分别为BP，PC的中点， ∴FO∥BC，且FO?1BC, 21BC, 2又ABCD为平行四边形,ED∥BC，且ED?∴FO∥ED，且FO?ED

∴四边形EFOD是平行四边形 ---------------------------------------------2分 即EF∥DO 又EF?平面PDC

∴EF∥平面PDC． --------------------------------------------- 4分 （Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC， 又AD⊥平面PDC ∴AD⊥DP,

∴PD⊥平面ABCD, --------------------------------- 6分 ∵BE?平面ABCD，

∴BE⊥DP -------------------------------- 8分 （Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知?ABC与?ADC面积相等，

所以三棱锥P?ADC与三棱锥P?ABC体积相等， 即五面体的体积为三棱锥P?ADC体积的二倍. ∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4 又∠CDP＝120°PC=27，

由余弦定理并整理得DC?4DC?12?0, 解得DC=2 -------------------------- 10分 ∴三棱

211P?ADC的体积V???2?4?sin120??3?23 32∴该五面体的体积为43 ----------------------------- 12分 21.（本小题满分12分）

1x21解：（Ⅰ）当a??时，f(x)??lnx??1，

242?1xx2?1∴f?(x)?． ??2x22x∵f(x)的定义域为(0,??)，∴由f?(x)?0 得x?1． ---------------------------3分 ∴f(x)在区间[,e]上的最值只可能在f(1),f(),f(e)取到，

1e1e51311e2而f(1)?,f()??2,f(e)??，

4e24e24∴f(x)max1e25?f(e)??,f(x)min?f(1)? ． ---------------------------6分

244(a?1)x2?a，x?(0,??)． （Ⅱ）f?(x)?x①当a?1?0，即a??1时，f?(x)?0,?f(x)在(0,??)单调递减；-------------7分 ②当a?0时，f?(x)?0,?f(x)在(0,??)单调递增； ----------------8分

③当?1?a?0时，由f?(x)?0得x?2?a,?x?a?1?a?a或x??（舍去） a?1a?1∴f(x)在(综上，

?a?a,??)单调递增，在(0,)上单调递减； --------------------10分 a?1a?1当a?0时，f(x)在(0,??)单调递增；

当?1?a?0时，f(x)在(?a?a,??)单调递增，在(0,)上单调递减． a?1a?1当a??1时，f(x)在(0,??)单调递减； -----------------------12分 22. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）①当直线PQ的斜率不存在时，由F2(1,0)可知PQ方程为x?1,

x2y233代入椭圆C:??1得P(1,),Q(1,?),又A(?2,0)

4322????????????273????3∴AP?(3,),AQ?(3,?)，AP?AQ? ------------------------------2分

224

②当直线PQ的斜率存在时，设PQ方程为y?k(x?1)(k?0)

x2y2??1得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0--------------------------4分 代入椭圆C:438k24k2?12设P(x1,y1),Q(x2,y2),得x1?x2?,x1x2?----------------------------5分 223?4k3?4k?9k2y1y2?k(x1?1)(x2?1)?k(?x1?x2?x1x2?1)?

3?4k222????????∴AP?AQ?(x1?2)(x2?2)?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?y1y2

27k22727 ----------------------------------------9分 ???(0,）233?4k4?42k????????27综上,AP?AQ的取值范围是(0,] ---------------------------------------10分

4

（Ⅱ）AP的方程为y?y1(x?2)与l的方程:x?4联立 x1?2得M(4,6y16y2) --------------------------------------11分 ) 同理,得N(4,x2?2x1?2?yMyN?6y16y236y1y2??x1?2x2?2x1x2?2(x1?x2)?43336??(?)22??9 ------------------------------------12分 1?当k不存在时,yMyN?1?1?2(1?1)?4324k2?23?4k2?当k存在时,yMyN?2??9 ----------------------------------13分

4k?1216k2??4223?4k3?4k

∴M,N两点的纵坐标之积为定值?9 -----------------------14分